Problema de cálculo Integral Empleando la suma de Reimann

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¡Hola Ana!

Dividiremos el dominio de integración en n intervalos iguales y calcularemos el límite cuando n tiende a infinito la suma de productos del valor de la función en un punto del intervalo por la longitud del intervalo.

$$\begin{align}&S=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)·\frac{b-a}n=\\&\\&(b-a)·\lim_{n\to \infty}\frac 1n\sum_{i=1}^nf(x_i)\\&\\&\text{donde }x_i=a+\frac{i(b-a)}{n}\\&\\&\text{Entonces la suma de Riemann es}\\&\\&S=(3-(-3))·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(3-\frac 13\left(-3+\frac{6i}{n}\right)^2\right)=\\&\\&6·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(3-3-\frac{12i}{n}+\frac{12i^2}{n^2}    \right)=\\&\\&6·\lim_{n\to \infty} \left(-\left(\frac {12}{n^2}\sum_{i=1}^ni\right)+\left(\frac {12}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\right)\right)=\\&\\&\text{Y hay que usar algunas fórmulas de sumatorios}\\&\\&\sum_{i=1}^ni= \frac{n(1+n)}{2}=\frac{n^2+n}{2}\\&\\&\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}= \frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\&\\&=72·\lim_{n\to \infty} \left(-\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}\right)+\left(\frac{n^2+n}{2n^2}\right)\right)=\\&\\&72·\lim_{n\to \infty} \left(-\frac 13-\frac 1{2n}-\frac{1}{6n^2}+\frac 12+\frac 1{2n}\right)=\\&\\&72·\left(-\frac 13+\frac 12  \right)=72·\frac{-2+3}{6}=12\end{align}$$

Y he comprobado que esa es efectivamente la integral, luego está bien.  Espero que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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¿disculpe de donde sale el ^2 ?

me perdí en esa parte