Me piden hallar altura geometría analítica

Poniendo el arco simétrico respecto del eje Y la parábola pasa por los puntos

(-6, 0) , (0,9), (6,0)

Una parábola puesta de esa forma tiene ecuación

y= - ax^2 + b

para pasar por (0, 9)

9 = 0 + b   ==> b=9

Y para pasar por (6,0)

0 = -36a +9

a=1/4

Luego la parabola es

y = -(1/4)x^2 + 9

Si la pasamos a exprsión canónica es

x^2 = -4(y-9)

Sabemos que el coeficiente de la derecha es 4 veces la distancia del vértice al foco. Luego esa distancia es -1. Para las coordenadas y del foco y vértice se cumple

foco_y - vértice_y = -1

foco_y = vertice_y - 1= 9-1 =8

Luego el foco es el punto (0,8)

Cuando has dicho centro del arco he supuesto que querías decir el foco, si no es así ya me lo dirás

Y la distancia al cuadrado de un punto al foco es

d^2 = x^2 + (y-8)^2 = 16

como debe ser un punto de la parábola también cumple

x^2=-4(y-9)

luego

-4(y-9) +(y-8)^2 = 16

-4y + 36 +y^2 -16y +64 = 16

y^2 - 20y + 84 =0

$$\begin{align}&y=\frac{20\pm \sqrt{400-336}}{2}=\frac{20\pm8}{2}\\&\\&y_1=14\\&y_2=6\end{align}$$

Pero y_1 = 14 no sirva ya que la la parabola tiene altura máxima 9, es una de esas respuestas fnatasma que aparecen cuando para solucionar una ecuación se eleva al cuadrado, lo que hicimos con la distancia.

Por lo tanto la única respuesta que vale es y=6

Y para y=6 tendremos

x^2=-4(6-9)

x^2 = 12

Luego los dos puntos son

$$\begin{align}&(\sqrt {12}, 6)\;y\;(-\sqrt{12},6)\end{align}$$

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