Duda con las ecuaciones diferenciales homogéneas

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¡Hola Marco!

Una ecuación diferencial (sobre todo si no es separable) es un problema de mucha entidad, solo se hace un ejercicio por pregunta.

$$\begin{align}&a)  3xy \frac{dx}{dy}=3x^2+4y^2\\&\\&\frac{dx}{dy}=\frac{3x^2+4y^2}{3xy}\\&\\&\text{Vamos a darle la vuelta por pura formalidad}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{3xy}{3x^2+4y^2}\\&\\&\text{Hacemos el cambio}\\&\\&u=\frac yx\implies y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{d(ux)}{dx}=\frac{du}{dx}·x +u=\frac{3xux}{3x^2+4(ux)^2}\\&\\&\frac{du}{dx}·x +u=\frac{3ux^2}{3x^2+4u^2x^2}\\&\\&\frac{du}{dx}·x +u=\frac{3u}{3+4u^2}\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{3u}{3+4u^2}-u\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{-4u^3}{3+4u^2}\\&\\&\frac{3+4u^2}{4u^3}du = -\frac{dx}{x}\\&\\&\int \frac{3+4u^2}{4u^3}du =  lnC - ln x\\&\\&\int \left(\frac{3}{4}u^{-3}+\frac 1u\right)du =  lnC - ln x\\&\\&\frac 34·\frac{u^{-2}}{-2}+ ln\,u=ln \frac Cx\\&\\&-\frac{3}{8u^2}+ln\, u= ln \frac Cx\\&\\&-\frac 3{8·\frac{y^2}{x^2}}+ ln \frac yx= lnC - ln x\\&\\&-\frac{3x^2}{8y^2}+ lny -ln x = lnC - lnx\\&\\&-\frac{3x^2}{8y^2}+ lny = lnC\\&\\&\text{La y no se puede despejar si acaso la x}\\&\\&-\frac{3x^2}{8y^2}= lnC-lny\\&\\&\frac{3x^2}{8y^2}= lny-lnC= ln \frac yC\\&\\&\text{invirtiendo y renombrando la variable por sí misma}\\&\\&\\&\frac{3x^2}{8y^2}= ln\, Cy\\&\\&x=\sqrt \frac{8y^2·ln\;Cy}{3}\\&\\&x=2y \sqrt {\frac{2 ln\,Cy}{3}}\end{align}$$

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