1 respuesta
·
·
¡Hola Julio!
En ejercicios de esta categoría solo respondemos uno por pregunta, fíjate que no te hemos contestado ninguno hasta ahora por eso.
Voy a hacer el primero y si quieres los otros mándalos cada uno en distintas preguntas.
Lo que nos piden es calcular la derivada del diámetro respecto del tiempo cuando el diámetro es 10 m
La derivada que conocemos nosotros es la del volumen respecto del tiempo ya que este crece a una velocidad constante de 3m^3/min
$$\begin{align}&\frac{dV}{dt}= 3\; m^3/min\\&\\&\text{Por la regla de la cadena podemos poner}\\&\\&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}·\frac{dr}{dt}= 3\,m^3/min\\&\\&\text{donde r es la función radio del globo}\\&\\&\frac {dr}{dt}=\frac {3}{\frac{dV}{dr}}\\&\\&Como\; V=\frac 43\pi r^3\implies \frac {dV}{dr}= 4\pi r^2\\&\\&\frac{dr}{dt}=\frac 3{4\pi r^2}\\&\\&\text {el diámetro valdrá 10 cuando el radio sea 5}\\&\\&\frac{dr}{dt}\bigg|_{r=5}=\frac 3{4\pi·5^2}=\frac{3}{100\pi}\; m/min\\&\\&\text{Y esa es la derivada del radio, pero como el diámetro}\\&\text{crece el doble tendremos}\\&\\&\frac{dd}{dt} \bigg|_{d=10}=2·\frac{3}{100\pi}\; m/min= \frac{3}{50\pi}\; m/min\end{align}$$Tal vez haya sido más lioso por la combinación que he hecho de radio y diametro, mejor vamos a trabajar solo con el diámetro, no me gusta porque tiene letra d como las diferenciales pero se puede entender, mejor pondré el diámetro con D mayúscula.
$$\begin{align}&\frac{dV}{dt}= 3\; m^3/min\\&\\&\text{Por la regla de la cadena podemos poner}\\&\\&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dD}·\frac{dD}{dt}= 3\,m^3/min\\&\\&\text{donde D es la función radio del globo}\\&\\&\frac {dD}{dt}=\frac {3}{\frac{dV}{dD}}\\&\\&Como\; V=\frac 43\pi \left(\frac D2\right)^3=\frac{1}{6}\pi D^3\implies\\& \frac {dV}{dD}= \frac{1}{2}\pi D^2\\&\\&\\&\frac{dD}{dt}\bigg|_{d=10}=\frac 3{\frac \pi 2·10^2}=\frac{3}{50\pi}\; m/min\end{align}$$Si, mucho más claro tratando directamente con el diámetro que con el radio, quédate con esta segunda versión.
:
:
