Realirar ejercicio de calculo integral, fracciones parciales
Evalúa cada una de las siguientes integrales usando el método de descomposición de fracciones parciales
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Andrea!
Primero hay que hacer que el numerador tenga grado menor que el denominador, para ello hay que hacer la división. En este caso no hace falta tanto, ya se ve que el cociente es 1, luego
$$\begin{align}&\frac{x^2+1}{x^2-1}= 1-\frac{x^2+1-(x^2-1)}{x^2-1}=1+\frac{2}{x^2-1}\\&\\&\text{Y en la fracción factorizamos el denominador}\\&\\&\frac{2}{(x+1)(x-1)}=\\&\\&\text{a dos raíces reales distintas les corresponde}\\&\\&\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}=\frac{(a+b)x-a+b}{(x+1)(x-1)}\\&\\&\text{Eso debe ser como la fracción de arriba}\\&\text{luego el numerador debe ser 2}\\&(a+b)x-a+b=2\\&\\&Luego\\&a+b=0 \implies a=-b\\&-a+b=2 \implies b+b=2\implies b=1,\;a=-1\\&\\&\int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx=\int\left(1-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)dx=\\&\\&x-ln|x+1|+ln|x+1|+C\end{align}$$:
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