Ejercicio de integrales impropias, convergente y divergente

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¡Hola Angel!

Tenemos una integral impropia por el simple hecho de que el límite izquierdo es -infinito. Pero hay otra cosa que muchas veces no vemos, y es que la función puede ser discontinua y hacerse infinito en algún puno del intervalo, con lo cual habría que hacer subdivisiones. En este caso

2x-5 = 0

2x=5

x=5/2

El punto de discontinuidad no está dentro del intervalo de integración luego se puede hacer toda la integral impropia de un tirón. Voy a hecerlo formalmente, en la práctica no se va escribiendo eso de los límites que voy a hacer, pero es la definición

$$\begin{align}&\int_{-\infty}^0 \frac{dx}{2x-5}=\lim_{R\to \infty} \int_{-R}^0 \frac{dx}{2x-5}=\\&\\&\lim_{R\to\infty}\frac 12ln|2x-5|\bigg|_{-R}^0=\\&\\&\lim_{R\to\infty} \frac 12(ln\,5-ln|-2R-5|)=\\&\\&\frac 12 ln 5-\frac 12ln(\infty)=-\infty\end{align}$$

Luego es divergente.

Y esta es la gráfica. En amarillo la integral, aunque parezca poca cosa el aréa amarilla es infinita. Con los dibujos no puedes fiarte hay que hacer las cuentas.

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