Área bajo la curva en integral definida

;)

Hola Josue!

Entiendo que es logaritmo neperiano, lo que en España representamos ln.

Sino el cálculo no sería exacto.

Hemos de calcular los puntos de corte de la función y=logx con el eje x:

y=0=log(2x) ==>  2x=1 00> x=1/2

Y con la función y=2

$$\begin{align}&y=2\\&y=log(2x)\\&\\&igualando\\&log(2x)=2\\&\\&2x=e^2\\&\\&x=\frac{e^2}{2}\end{align}$$

Hay que calcular el área de dos recintos:

El recinto amarillo es un rectángulo de base 1/2 y altura 2 ===> Area=1/2·2=1

El recinto lila es:

$$\begin{align}&\int _{\frac{1}{2}}^{\frac{e^2}{2}} \Big(2-log(2x) \Big) dx=(*)\\&\\&Por \ partes \ la \ integral\\&\\&\int log(2x) dx=uv-\int u'v=xlog(2x)- \int \frac{1}{x}x=xlog(2x)- \int 1dx=xlog(2x)-x\\&u=log(2x) \Rightarrow u'=\frac{1}{2x}2=\frac{1}{x}\\&v'=1 \Rightarrow v=\int 1dx=x\\&\\&(*)=  \Bigg [2x-xlog(2x)+x \Bigg ]= \Bigg [3x-x log(2x) \Bigg]_{\frac{1}{2}}^{\frac{e^2}{2}}=\\&\\&=3 \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{2}log(e^2)- \Bigg(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}log1 \Bigg)=\frac{3e^2}{2}-e^2loge-\frac{3}{2}+0= f\\&\\&=\frac{3e^2}{2}-e^2-\frac{3}{2}=\frac{e^2-3}{2}=\simeq2.1945...\\&\\&Area \Total=1+\frac{e^2-3}{2}=\frac{e^2-1}{2} \simeq3.194528049...\end{align}$$

Saludos

;)

;)

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¡Hola Josué!

Es más sencillo cambiar el papel de las variables, entonces tendremos una integral normal y corriente que se hace de un tirón.

Lo único que tenemos que hacer es poner la función como una función de y

$$\begin{align}&y=log(2x)\\&\\&\text{es de suponer que logaritmo neperiano}\\&\\&e^y = 2x\\&\\&x=\frac{e^y}{2}\\&\\&\text{Y el área es}\\&\\&A=\int_{y_1}^{y_2}f(y) dy=\int_0^2 \frac{e^y}{2}dy=\frac{e^{y}}2\bigg|_0^2=\frac {e^2}2-\frac 12\approx\\&\\&3.194528049\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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