Resolver la siguiente integral nobrando las propiedades y técnicas utlizadas

Pero es que si no te han enseñado las funciones hiperbólicas no te van a dejar seguramente. De todas formas te doy el enlace a la sencilla Wikipedia que tiene un artículo bastante completo donde salen estas, sus propiedades y sobre todo sus derivadas, sus inversas y su equivalencia a funciones normales.

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica 

Yo como soy de la antigua hornada usaré las abreviaturas que me enseñaron que son mejores

shx = seno hiperbólico de x

chx = coseno hiperbólico de x

tgx = tangente hiperbólica de x

argshx = inversa de shx = argumento del seno hiperbólico de x

argchx = inversa de chx = argumento del coseno hiperbólico de x

No te voy a citar dar explicación de muchas propiedades que usaré porque están en esa página

$$\begin{align}&\int_{0}^1 \frac{\sqrt x}{\sqrt{x+1}}dx\\&\\&x=sh^2t\\&dx= 2sh\,t·ch\,t\;dt\\&x=0\implies t=argsh(0)= ln(0+\sqrt{1+0^2})=0\\&x=1\implies t=argsh(1) = ln(1+\sqrt{1^2+1})=ln(1+ \sqrt 2)\\&\\&\text{Ojo, vamos a cambiar los extremos de integración}\\&\text{no hará falta deshacer el cambio para evaluarla}\\&\\&=\int_0^{ln(1+ \sqrt 2)}\frac {sh\,t}{\sqrt{1+sh^2t}}·2sh\,t·ch\,t\;dt=\\&\\&\text{Como }1+sh^2t= ch^2t\\&\\&=\int_0^{ln(1+ \sqrt 2)}\frac {sh\,t}{ch\,t}·2sh\,t·ch\,t\;dt=\\&\\&=2\int _0^{ln(1+ \sqrt 2)}sh^2t\;dt=\\&\\&\text{En la página no te lo pone pero de}\\&ch\,2t=ch^2t+sh^2t\\&-1+ch\,2t=ch^2t-1+sh^2t=sh^2t+sh^2t=2sh^2t\implies\\&\\&sh^2t=\frac{-1+ch\,2t}{2}\\&\\&=2\int_0^{ln(1+ \sqrt 2)}\left(\frac{-1+ch\,2t}{2}\right)\;dt=\\&\\&2\left[-\frac t2 + \frac{sh\, 2t}{4} \right]_0^{ln(1+ \sqrt 2)}=\\&\\&\left[ -t + \frac{sh\, 2t}{2} \right]_0^{ln(1+ \sqrt 2)}=-ln(1+\sqrt 2)+\frac{sh(2ln(1+\sqrt 2)}{2}-0-\frac{sh\,0}{2}=\\&\\&-ln(1+\sqrt 2)+\frac{sh(ln[(1+\sqrt 2)^2]}{2}-0-0=\\&\\&-ln(1+\sqrt 2)+\frac{e^{ln[(1+\sqrt 2)^2]}-e^{-ln[(1+\sqrt 2)^2]}}{4}=\\&\\&-ln(1+\sqrt 2)+\frac{(1+ \sqrt 2)^2-(1+\sqrt 2)^{-2}}{4}\approx\\&\\&0.53283997535355\end{align}$$

Y lo que hace falta es comprobar si está bien, para ello echamos mano de la famosa página de Wolfram Alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%28x%29%2Fsqrt%28x%2B1%29+form+0+to+1 

Que es muy probable que n se pueda pinchar y tengas que copiar y pegar en el navegador, o si no aquí tienes o que sale

Que como ves es lo mismo. De todas formas me gusta más la expresión real de la respuesta que da Wolfram Alpha que la mía

Voy a ver cvomo habría quedado la mía si no hubieramos hecho cambio de extremos, entonces es la integral entre 0 y 1 y hay que deshacer el cambio

$$\begin{align}& -t + \frac{sh\, 2t}{2} =\\&\\&como \\&x=sh^2t\implies{}t=argsh \sqrt x\\&sh2t=2\,sh\,t·ch\,t\\&\\&=-argsh\,\sqrt x+sht·cht=\\&\\&-argsh \sqrt x+\sqrt x·\sqrt{1+sh^2t}=\\&\\&-argsh \sqrt x+\sqrt x \sqrt{1+x}\\&\\&\text{que evaluado entre 0 y 1 es}\\&\\&\left[\sqrt x \sqrt{1+x}-argsh \sqrt x\right]_0^1=\sqrt 2-argsh\,1\end{align}$$

Pues sí sale esa misma respuesta. A veces si no deshaces los cambios queda una expresión peor de la respuesta, aunque sea el mismo valor. Luego lo que puedes hacer es hacer primero la integral indefinida sin extremos de integración y tras deshacer el cambio la evalúas entre 0 y 1 tal como he deshecho y evaluado ahora mismo.

Y esto es todo, para mi es es mucho más sencillo. Pero si no conoces estas funciones te resultará mucho más complicado.

En los siguientes enlaces encontrarás la respuesta:

http://html.rincondelvago.com/integrales_integral-de-riemann_calculo-integral.html 

http://www.academia.edu/7708664/C%C3%81LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO 

https://www.youtube.com/watch?v=4wMwEOMO_o8 

Saludos y por acá a tus órdenes siempre.