Hallar los puntos críticos, los intervalos en donde f es creciente o decreciente y construye la gráfica de la siguiente ecuación

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¡Hola Ana Belén!

Hallamos los puntos críticos derivando e igualando a cero

$$\begin{align}&f(x)=x^3-3x^2\\&\\&f'(x)=3x^2-6x=0\\&\\&3x(x-2)=0\\&\\&\text{son los puntos}\\&x=0\\&x=2\\&\\&\text{Calculamos la derivada segunda}\\&\\&f''(x)=6x-6\\&f''(0)=-6 \lt 0 \implies máximo\\&f''(2)=12-6=6\gt0\implies mínimo\\&\\&\text{El máximo es }(0,f(0))=(0,0)\\&\text{El mínimo es }(2,f(2))=(2,8-12)=(2,-4)\\&\\&\text{estos dos puntos dividen la recta en tres zonas}\\&\text{En cada una de ellas el signo de la derivada primera}\\&\text {es constante, luego la evaluamos en uno de ellos}\\&\text{para saber el signo y con ello decidir si es }\\&\text{creciente o decreciente}\\&\\&f'(x)=3x^2-6x\\&(-\infty, 0)\quad f'(-1)=3(-1)^2-6(-1)=9\gt0\implies creciente\\&(0,2)\quad f'(1)=3-6=-3\lt0\implies decreciente\\&(2,\infty)\quad f(3)=27-18=9\gt 0\implies creciente\end{align}$$

Y otros punto aparte de estos es el punto (3,0) que corta al eje X

La gráfica es esta:

Y eso es todo.

Saludos.

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Estimada Anita: En los siguientes enlaces podrías encontrar la fórmula de resolverlo:

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/aplic.htm 

https://www.youtube.com/watch?v=H6eDergAk2E 

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya2B/bach2soc/07%20Sol%20Soc.pdf