Área superficie revolución de una elipse
Calcular el área de la superficie del elipsoide generado al rotar una elipse en torno de su eje menor:
a) En cartesianas
1 Respuesta
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¡Hola Lucas!
Ahora tengo que irme. Si haces esta pregunta es porque debe ser difícil. Esta no la he mirado en concreto pero me parece que debe similar a la pregunta de calcular la longitud de un arco de elipse entre los puntos a y b, lo cual originaba una integral que no se podia resolver. Ahora bien, aquí la longitud a usar es la de media elipse, a lo mejor esa sí se puede calcular.
Saludos.
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Qué va, aquí se simplifica todo y puede calcularse. Lo que no se puede calcular exactamente es el perímetro de una elipse (con semiejes distintos).
El eje menor será el eje Y, la fórmula es:
$$\begin{align}&S=2\pi\int_{y_1}^{y_2}x \sqrt{1+\left(\frac {dx}{dy} \right)^2}\;dy\\&\\&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\&\\&\frac{x^2}{a^2}=1-\frac{y^2}{b^2}= \frac{b^2-y^2}{b^2}\\&\\&x= \frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}\\&\\&S=2\pi\int_{-b}^b \frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}·\sqrt{1+\frac{}{}\left(-\frac ab· \frac{y}{\sqrt{b^2-y^2}} \right)^2}\;dy=\\&\\&\text{por smetría lo traducimos a integral entre 0 y b}\\&\\&4\pi ·\frac ab\int_0^b \sqrt{b^2-y^2}·\sqrt{1+\frac{a^2y^2}{b^2(b^2-y^2)}}\;dy=\\&\\&4\pi ·\frac ab\int_0^b \sqrt{b^2-y^2}·\sqrt{\frac{b^2(b^2-y^2)+a^2y^2}{b^2(b^2-y^2)}}\;dy=\\&\\&4\pi·\frac a{b^2}\int_0^b \sqrt{b^4+(a^2-b^2)y^2}\;dy=\\&\\&\text{podemos ver que si a=b }\implies S=4\pi a^2\implies bien\\&\\&y=\frac{b^2·sh\,u}{\sqrt{a^2-b^2}}\implies u=argsh\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b^2} y \right)\\&\\&dy=\frac{b^2·ch\,u}{\sqrt{a^2-b^2}} du\\&\\&y=0\implies u=0\\&y=b\implies u=argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)\\&\\&=4\pi·\frac a{b^2}\int_0^{argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)} \sqrt{b^4+b^4·sh^2u}\frac{b^2·ch\,u}{\sqrt{a^2-b^2}} du=\\&\\&4\pi·\frac a{b^2}·\frac{b^4}{\sqrt{a^2-b^2}}\int_0^{argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)} \sqrt{1+sh^2u}·ch\,u\;du=\\&\\&4\pi·\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\int_0^{argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)}ch\,u·ch\,u\;du=\\&\\&4\pi·\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\int_0^{argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)}ch^2\,u\;du=\\&\\&4\pi·\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\int_0^{argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)}\left(\frac{1}{2}+\frac{ch\,2u}{2} \right)\;du=\\&\\&4\pi·\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}·\left[\frac u2+\frac{sh \,2u}{4} \right]_0^{argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)}=\\&\\&4\pi·\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\left[\frac {u+sh\,u·ch\,u}2 \right]_0^{argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)}=\\&\\&4\pi·\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}·\frac 12\left(argsh\left({\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}·\sqrt{1+\frac{a^2-b^2}{b^2}} \right)=\\&\\&\frac{2\pi ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\left(ln \left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}+\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}+1} \right)+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}·\frac ab\right)=\\&\\&\frac{2\pi ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\left(ln \left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}+\frac ab \right)+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}·\frac ab\right)=\\&\\&\frac{2\pi ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}ln \left(\frac{a+ \sqrt{a^2-b^2}}{b} \right)+2\pi a^2\end{align}$$Y aunque parezca mentira el límite cuando b tiende a a del primer término es 2pi·a^2 con lo cual se cumple para la circunferencia, lo cual es muy buena señal. Repasa las cuentas de todas formas. En algunos sitios he dado algún paso largo, pero ya sabrás tú que si se escribe mucho en el editor de ecuaciones al final no funciona.
Saludos.
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