¿Respuesta del siguiente ejercicio de mate?

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¡Hola Mery!

En el apartado a pondremos todo en la misma base y simplificaremos lo que se pueda. Supón que no ves que es una ecuación de segundo grado voy a resolverlo de todas formas

$$\begin{align}&a)  \\&\\&9^x - 10·3^x+3^2=0\\&\\&(3^2)^x-10·3^x + 3^2=0\\&\\&3^{2x}+3^2 =10·3^x\\&\\&\frac{3^{2x}+3^2}{3^x}=10\\&\\&3^x+3^{2-x}=10\\&\\&\text{La única forma de obtener 10 con suma }\\&\text{de dos potencias de 3 es}\\&10=1+9 =3^0+3^2\\&\text{Luego x debe ser 0 o 2, veamos si se cumple}\\&\text{Si } x=0\implies 3^0+3^{2-0}= 1+9=10\\&\text{Si }x=2\implies 3^2+3^{2-2}=9+1=10\\&\\&b) log(x-1)-log \sqrt{5+x}-log \sqrt{5-x}=0\\&\\&\text{Por propiedades de los logaritmos}\\&\\&log \frac{x-1}{\sqrt{5+x}\sqrt{5-x}}=0\\&\\&\text{el valor cuyo logaritmo es 0 es 1}\\&\\&\frac{x-1}{\sqrt{5+x}\sqrt{5-x}}=1\\&\\&\frac{x-1}{\sqrt{(5+x)(5-x)}}=1\\&\\&\frac{x-1}{\sqrt{25-x^2}}=1\\&\\&x-1=\sqrt{25-x^2}\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&x^2-2x+1= 25-x^2\\&\\&2x^2-2x-24=0\\&\\&x^2-x-12=0\\&\\& \text{Y esto se factoriza fácil}\\&\\&(x-4)(x+3)=0\\&\\&\text{Luego las soluciones son}\\&\\&x=4, x=-3\\&\\&\text{Comprobemos que sirven para la ecuación original}\\&\text{Ya que al elevar al cuadrado pueden aparecer}\\&\text{soluciones que no sirven}\\&\\&\text{-3 no sirve porque }log(-3-1)=log(-4)\text{ no existe}\\&\\&\text{4 si que sirve son todo logaritmos de positivos}\end{align}$$

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Hola Mery!

a) Cuando tienes una suma y resta de exponenciales con la misma base(9=3^2)

Se hace un cambio de variable:

$$\begin{align}&(3^2)^x-10·3^x+9=0\\&(3^x)^2-10·3^x+9=0\\&3^x=z\\&z^2-10z+9=0\\&Ec.2º grado \ (tu º misma)\\&z_1=9 \Rightarrow 3^x=9 \Rightarrow x_1=2\\&\\&z_2=1 \Rightarrow 3^x=1 \Rightarrow x_2=0\\&\\&b)\\&log(x-1)=log \sqrt{5+x} + log \sqrt {5-x}\\&\\&log(x-1)=log  \Big( \sqrt {5+x}· \sqrt {5 -x} \Big)\\&\\&x-1= \sqrt {25-x^2}\\&\\&(x-1)^2=25-x^2\\&\\&x^2-2x+1=25-x^2\\&\\&2x^2-2x-24=0\\&\\&x^2-x-12=0\\&\\&x_1=4\\&\\&x_2=-3\end{align}$$

la solución x=-3 no sirve ,ya que el primer logaritmo te quedaría negativo

Saludos

Y recuerda votar todas las respuestas

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