Demostrar que f(x) = x^3 + 4x^2 – 10 tiene una raíz en [1, 2]

¡Ho_la Juan David!

Es una aplicación clara del teorema de Bolzano.  Si una función f continua en [a, b] tiene signos contrarios en f(a) y f(b), entonces existe un c en (a, b) tal que f(c)=0

Esta función es continua en [1, 2] por ser un polinomio

f(1) = 1+4-10 = -5

f(2) = 8+ 16 -10 = 14

son signos contrarios - y +

Luego por el teorema de Bolzano tiene una raíz en (1, 2)

1)

Tomamos el punto medio  3/2

f(3/2) = 27/8 + 36/4 - 10 = (27+72-80)/72 = 19/72

Luego nos quedamos con [1, 3/2] para que los signos sean distintos

2)

El punto medio será (1+3/2) / 2 = 5/4

f(5/4) = 125/64 + 100/16 - 10 = (125+400-640)/64 = -115/64

Para que haya signos opuestos hay que tomar [5/4, 3/2]

3)

Tomamos el punto medio (5/4+3/2)/2 = 11/8

Y se acabó esto de trabajar con fraccciones, ya mismo me pondré con decimales y calculadora.

5/4 =1.25; 

3/2 = 1.66...

11/8 = 1.375

f(1.375) = 0.162109375

Hay que quedarse con [1.25, 1.375]

4)

El punto medio es (1.25+1.375) / 2 = 1.3125

f(1.3125) = -0.8483886719

Hay que tomar [1.3125, 1.375] paa que haya signos opuestos

5)

Tomamos el punto medio  (1.3125+1.375)/2 = 1.34375

f(1.34375) = -0.350982666

Debe tomarse [1.34375, 1.375] para que haya - y +

6)

El punto medio es (1.34375+ 1.375)/2 = 1.359375

f(1.359375) =-0.09640884399

Debe tomarse [1.359375, 1.375]

7)

El punto medio es (1.359375+1.375)/2 =1.3671875

f(1.3671875) = 0.03235578537

Ahora hay que quitar la mitad de arriba nos quedamos con

[1.359375, 1.3671875]

8)

Tomamos es punto medio (1.359375, 1.3671875)/2 = 1.36328125

f(1.36328125)= -0.03214997053

Quitamos en intervalo izquierdo, nos queda [1.36328125, 1.3671875]

9)

Tomamos el punto medio (1.36328125+ 1.3671875)/2=1.365234375

Es f(1.365234375)=0.0000720247626

Y esto ya es menor que 10^-4 = 0.0001

luego esa es la aproximación que damos a la raíz del polinomio en [1,2], es:

x=1.365234375

Salu_dos.

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Juan David, como des un solo punto el intruso y vago de Herrera no te haré ni un problema ni medio más. Para eso me he matado yo de hacer cálculos, para que ahora venga aquí este que no tiene idea de nada a llevarse puntos.