Hallar el valor medio de la función f(x)=x√(x^2+16) en el intervalo [0, 3].
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3 respuestas
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¡Hola Juan David!
El valor medio es el valor de la integral dividido entre la longutud del intervalo de integración.
$$\begin{align}&\overline{f(x)}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\\&\\&\overline{f(x)}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x \sqrt{x^2+16}dx=\\&\\&t=x^2+16\\&dt=2x \;dx\implies x\,dx = \frac{1}{2}dt\\&x=0\implies t=16\\&x=3\implies t=25\\&\\&=\frac 13\int_{16}^{25}\sqrt t·\frac 12dt=\\&\\&\frac 16\int_{16}^{25}t^{\frac 12} dt=\frac 16\left[ \frac{t^{\frac 32}}{\frac 32} \right]_{16}^{25}=\\&\\&\frac 19\left(25^{\frac 32}-16^{\frac 32}\right)=\frac 19(125-64)=\frac {61}9\end{align}$$:
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Tienes que valorar la respuesta de Gustavo igual que la mía. Todos los que trabajamos aquí y sabemos de qué va el tema tenemos fallos a veces. Y Gustavo es de los que trabaja y sabe. No te diría lo mismo de Jorge Herrera por ejemplo, el cual no resuelve nada y por lo tanto no merece ningún punto.
Ya tenemos aquí al que faltaba. ¡JaJaJa!
Que no tiene ni idea, ha buscado valor medio y le ha salido el teorema del valor medio que no tiene nada que ver con el valor medio de la integral. Dirección de la página, si ves esto haz el favor de prohibir a Herrera el contestar más preguntas exclusivamente con enlaces a Internet. Tú puedes saber las especialidades que tenía antes de esta irrupción que ha tenido ahora por todas las especialidades técnicas con los enlaces que muchas veces ni siquiera sirven para lo que se pregunta. Haz el favor de expulsar e este individuo de esas especialidades de las que no tiene ni idea para mantener la dignidad de los verdaderos expertos y de la página.
El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a,b] es
$$\begin{align}&\overline f(x) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) dx\\&\text{En este caso}\\&\overline f(x) = \frac{1}{3-0}\int_{0}^{3} x \sqrt{x^2+16} \ dx\\&\text{Resolvemos la integral con la sustitución }x^2+16 = t\\&2x \ dx = dt\\&x \ dx = dt/2\\&\frac{1}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{t} \ \frac{dt}{2} = \frac{1}{3} \frac{t^{3/2}}{3/2} \bigg|_0^3 = \\&\frac{2}{9} (x^2+16)^{3/2}\bigg|_0^3=\\&\frac{2}{9} (x^2+16)^{3/2}\bigg|_0^3= \frac{2}{9} \bigg((3^2+16)^{3/2} -0 \bigg) = \\&\frac{2}{9} (125-0) = \frac{250}{9}\end{align}$$
Gracias Valero Angel Serrano Mercadal por marcarme el error al final de mi cálculo.
Cuando evalué la función, me faltó hacerlo en cero, igualmente ví que me olvidé el 2 que divide a dt, así que cambio te cambio de la sustitución hacia abajo.
$$\begin{align}&\frac{1}{3}\int_0^3 \sqrt t \frac{dt}{2}=\\&\frac{1}{6} \frac{t^{3/2}}{3/2} \bigg|_0^3=\\&\frac{1}{9} (x^2+16)^{3/2}\bigg|_0^3 =\\&\frac{1}{9} \bigg((3^2+16)^{3/2} - (0^2+16)^{3/2}\bigg)=\\&\frac{1}{9} \bigg(125 - 64\bigg)= \frac{61}{9}\end{align}$$
