Área triángulo dado un punto, coordenadas -analítica
Es un tema de geometría analítica.
Encontrar una ecuación de cada una de las rectas que pasan por el punto (3,2) y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 12. Describa el procedimiento.
3 Respuestas
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¡Hola Llaq!
¡Milagro! Herrera a descubierto la fórmula del área del triángulo. Ahora a ver que día se da el milagro y se decide a resolver algún problema.
Hallamos la ecuación genérica de una recta que pasa por el punto (3,2)
y-2 = m(x-3)
Donde m es la pendiente.
Los cortes de esta recta con los ejes son:
Con el eje X cuando y=0
-2 = m(x-3)
-2 = mx - 3m
mx = 3m-2
x = 3 - 2/m
Con el eje Y cuando x=0
y-2 = m(0-3)
y =2-3m
Y el área que forman es
$$\begin{align}&A=\frac{\left| \left(3-\frac 2m \right)(2-3m)\right|}{2}=12\\&\\&\left| 6-9m-\frac 4m+6 \right|=24\\&\\&\left|12 -9m -\frac{4}{m}\right|=24\\&\\&\text{Esto son dos ecuaciones:}\\&\text{La primera tomando positivo el interior}\\&\\&12-9m -\frac 4m = 24\\&\\&9m+\frac 4m+12=0\\&\\&\text{multiplico por m}\\&\\&9m^2+12m+4=0\\&\\&(3m+2)^2=0\\&\\&3m+2=0\\&\\&m=-\frac 23\\&\\&\text{Luego la primera recta es}\\&\\&r_1:\quad y-2=-\frac 23(x-3)\\&\\&r_1:\quad3y-6=-2x+6\\&\\&r_1:\quad2x+3y-12=0\\&\\&\text{Y la otra ecuación tomando el interior negativo}\\&\\&-12+9m +\frac 4m = 24\\&\\&9m+\frac 4m-36=0\\&\\&\text{multiplico por m}\\&\\&9m^2-36m+4 = 0\\&\\&m=\frac{36\pm \sqrt{36^2-4·9·4}}{18}=\frac{36\pm 24 \sqrt 2}{18}=\frac{18\pm 12 \sqrt 2}{9}\\&\\&\text{Y esto nos dará otras dos rectas}\\&\\&y-2=\left(\frac{18\pm 12 \sqrt 2}{9} \right)(x-3)\\&\\&9y-18=(18\pm 12 \sqrt 2)x-54\mp 36 \sqrt 2\\&\\&(18\pm 12 \sqrt 2)x -9y -36 \mp 36 \sqrt 2=0\\&\\&r_2:\quad (18+12 \sqrt 2)x -9y -36 - 36 \sqrt 2=0\\&\\&r_3:\quad (18- 12 \sqrt 2)x -9y -36 + 36 \sqrt 2=0\end{align}$$Y esta es la comprobación.
Y esa es la respuesta de verdad, es decir tres rectas. Espero que después de esto valores las respuestas de los dos que debes valorar y no des ni un punto ni medio al vago de siempre.
S a l u d o s.
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¡Gracias!
Me he pasado un buen rato comprobando las áreas, hasta que he vuelto a leer el enunciado. En la gráfica son las áreas coloreadas y yo pensaba que tenían que formar el triángulo con el vértice (3,2).
Un saludo.
Hola Jorge Herrera.
No me ayudan esos vídeos.
Yo he obtenido una de las ecuaciones (la más fácil), tomando como extremos las intersecciones con el eje Y y con el eje X, de la recta que pasa por el punto (3,2), pero en el libro dan 3 ecuaciones como respuestas y no sé cómo obtenerlas.
Es decir, que existen al menos tres rectas que pasan por el punto (3,2), las cuals forman tres triángulos diferentes de área 12.
Primera ecuación Y= -2/3x +4
Se me escapa algo y no sé qué es.