Encontrar el dominio y recorrido de f(x)=1-√ (5-4x-x^2)

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¡Hola Anyara!

El dominio será aquellos valores donde el radicando es no negativo.

$$\begin{align}&5-4x-x^2\ge0\\&\\&x^2+4x-5\le 0\\&\\&(x-1)(x+5)<=0\\&\\&\text{Esto es negativo cuando un factor es negativo}\\&\text{ y el otro positivo. Como (x-1) es el menor}\\&\\&x-1\le 0\implies x\le1\\&x+5\ge 0 \implies x\ge-5\\&\\&Dom\,f=[-5,1]\\&\\&\text{El recorrido son los valores que puede tomar y.}\\&\text{Es el dominio de la función inversa, si despejamos}\\&\text{x se puede calcular}\\&\\&y= 1 - \sqrt{5-4x-x^2}\\&\\&y-1=-\sqrt{5-4x-x^2}\\&\\&\text{Y antes de que al elevar al cuadrado se fastidie todo}\\&\text{recuerda que debe cumplirse } y-1\le0\implies y\le1\\&\\&(y-1)^2= 5-4x-x^2\\&\\&x^2+4x+(y-1)^2-5=0\\&\\&x= \frac{4\pm \sqrt{16-4[(y-1)^2 -5]}}{2}\\&\\&\text{el dominio es cuando ese radicando sea no negativo}\\&\\&16-4[(y-1)^2 -5] \ge 0\\&\\&16-4(y-1)^2+20\ge 0\\&\\&-4(y-1)^2\ge-36\\&\\&4(y-1)^2\le36\\&\\&(y-1)^2\le9\\&\\&|y-1|\le 3\\&\\&-3\le y-1\le3\\&\\&\text{sumando 1 en los tres sitios}\\&\\&-2\le y\le 4\\&\\&\text{pero como decía arriba}\\&y\le 1\\&\\&\text{Luego el recorrido es}\\&\\&Im\,f=Rango\,f=[-2,\;1]\end{align}$$

Y con estas operaciones nunca te quedas satisfecho del todo, luego lo mejor es comprobarlo.

Mira que bien, si era una semicircunferencia de centro (-2,1) y radio 3

En efecto:

$$\begin{align}&y=1- \sqrt{5-4x-x^2}\\&\\&y-1= -\sqrt{5-4x-x^2}\\&\\&(y-1)^2 = 5-4x-x^2\\&\\&x^2+4x-5+(y-1)^2=0\\&\\&\text{sumamos 9 en los dos lados}\\&\\&x^2+4x+4 +(y-1)^2=9\\&\\&(x+2)^2+(y-1)^2=3^2\\&\\&\end{align}$$

S a l u d o s.

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Bueno Anyara, ya has visto la gran diferencia entre le trabajo que he hecho yo y el fgesto pueril de Jorge Herrera de buscar un vídeo al tuntún y pegar el enlace. Entenderás perfectamente que si le das algún punto yo me retire y no conteste ninguna pregunta más tuya. A ver que día expulsan ya de una vez al entrometido este, voy a brindar.