Determinar por el criterio delcociente el conjunto deconvergencia de :

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¡Hola Luk!

$$\begin{align}&Si \lim_{n\to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L\implies R =\frac 1L\\&\\&\lim_{n\to \infty}\left|\frac{\frac{(-2)^{n+1}}{n+2}}{\frac{(-2)^n}{n+1}}  \right|=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{(-2)(n+1)}{n+2}\right|=2\\&\\&\text{Luego } R=\frac 12\\&\\&|x-3|\le \frac 12\\&\\&-\frac 12\le x-3 \le \frac 12\\&\\&3-\frac 12\le x\le 3+\frac 12\\&\\&\text{en principio desechamos los extremos}\\&\\&\left( \frac 52, \frac 72\right)\\&\\&\text{Para }x=\frac 52\\&\\&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n+1}·\left(-\frac 12 \right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\text{es divergente}\\&\\&\text{Para }x= \frac 72\\&\\&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n+1}·\left(\frac 12 \right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}\\&\text{es una sucesión alternada decreciente y converge a 0}\\&\text{la serie  es convergente por el criterio de Leibniz}\\&\\&\text{Luego el conjunto de convergencia es}\\&\\&\left( \frac 52, \frac 72\right]\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, s a l  u d o s.

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