Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,2) y es tangente a la circunferencia de ecuación x^2+y^2+8x+7=0
Obtuve el centro que es (-4,0) y radio 3, estaba pensando trabaja con la ecuación punto pendiente pero el radio no incide con el eje coordenado Y del punto P, ya que la recta sólo pasa por ese punto, siendo su pendiente mayor o menor a 0
2 Respuestas
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¡Hola Anyara!
La ecuación de una recta que pase por el punto (3,2) es
y-2 = m(x-3)
y = m(x-3) + 2
Tienes que calcular la intersección de esa recta con la circunferencia, allá donde solo haya una respuesta será una recta tangente.
$$\begin{align}&x^2+y^2+8x+7=0\\&\\&x^2+(m(x-3)+2)^2+8x+7=0\\&\\&x^2+m^2(x-3)^2+4+2m(x-3)+8x+7=0\\&\\&x^2+m^2x^2+9m^2-6m^2+4+2mx-6m+8x+7=0\\&\\&(m^2+1)x^2+(2m+8)x+3m^2-6m+11=0\\&\\&x=\frac{-2m-8\pm \sqrt{(2m+8)^2-4(m^2+1)(3m^2-6m+11)}}{2(m^2+1}\\&\\&\text{Hay que hacer que el radicando sea 0}\\&\text{para que haya un solo corte}\\&\\&(2m+8)^2-4(m^2+1)(3m^2-6m+11)=0\end{align}$$Y eso ya te lo dejo todo a ti porque tengo que irme, antes de resolver fíjate si hice bien las cuentas porque iba con prisa.
Saludos.
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Es verdad que tenía un error al elevar el binomio al cuadrado, pero como te dije tenía mucha prisa. Si no hubiera sido así lo habría terminado y seguramente habría hecho la gráfica para comprobar si estaba bien, vería que no y me habría puesto a buscar el fallo.
;)
Hola Anyara!
Detecto un error en la tercera línea, con permiso del profesor Valero, continuo:
$$\begin{align}&x^2+m^2(x-3)^2+4+4m(x-3)+8x+7=0\\&\\&x^2+m^2x^2-6m^2x+9m^2+4+4mx-12m+8x+7=0\\&\\&(1+m^2)x^2+(-6m^2+4m+8)x+(9m^2-12m+11)=0\\&\\&Será \ tangente \ si \ solución \ única \Rightarrow discriminante=\Delta=0\\&\\&\Delta=b^2-4ac=0\\&(-6m^2+4m+8)^2-4(1+m^2)(9m^2-12m+11)=0\\&36m^4+16m^2+64-48m^3-96m^2+64m-4(9m^2-12m+11+9m^4-12m^3+11m^2)=0\\&\\&-160m^2+112m+20=0\\&40m^2-28m-5=0\\&\\&m=\frac{28 \ \pm \sqrt{784+800}}{80}=\frac{28 \pm 12 \sqrt{11}}{80}\\&\\&m_1=\frac{7+ 3 \sqrt {11}}{20}\\&\\&m_2=\frac{7- 3 \sqrt {11}}{20}\\&\\&rectas \ tangentes:\\&y=2+\frac{7+ 3 \sqrt {11}}{20}(x-3)\\&\\&y=2+\frac{7- 3 \sqrt {11}}{20}(x-3)\end{align}$$saludos
;)
;)