En la sgte funcion calcular : y=f(x)=x3-6x2-4x+24.como se ase es para hoy

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¡Hola Laura!

Es el estudio completo, menos mal que la función parece fácil.

La intersección con el eje Y es la sencilla, cuando x=0, es el punto (0,24)

Las intersecciones con el eje X son las más complicadas, cuando y=0

x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = 0

El 24 tiene muchos divisores, si hay una respuesta entera la obtendrás probando con {1,-1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24}

Y enseguida se ve que el 2 sirve

8 -24 - 8 + 24 = 0

Ahora debes dividir por (x-2) eso se hace por Ruffini y espero sepas hacerlo ya que aquí sale muy mal cuando les da por quitar los espacios blancos de alineación

......1   -6   -4   24

2 ........ 2   -8  -24  

.... --------------------    

..... 1   -4  -12   0

Queda

x^2 - 4x - 12 = 0

Y este se hace de cabeza

(x+2)(x-6) = 0

Luego todas las raíces son {-2, 2, 6}

y los cortes con el eje X son

(-2, 0),   (2, 0),   (6,0)

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Extención no sé lo que es, ya me lo explicarás.

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Los polinomios no tienen asíntotas.

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Este polinomio no tiene simetrías. Cuando todos los exponentes son pares tiene simetría par que es respecto al eje Y. Cuando todos son impares la tiene impar que simetría central respecto del punto (0,0).

Este polinomio tiene coeficientes no nulos pares e impares, luego no tiene ninguna de esas simetrías.

Y ya para lo siguiente habrá que calcular las derivadas.

$$\begin{align}&f(x)= x^3-6x^2-4x+24\\&\\&f'(x)=3x^2-12x-4\\&\\&\text{Los puntos donde vale 0 son}\\&\\&x=\frac{12\pm \sqrt{144+48}}{6}=\frac{12\pm 8 \sqrt 3}{6}\\&x_1=2+\frac 43 \sqrt 3\approx 4.309401\\&x_2=2-\frac 43 \sqrt 3\approx -0.309401\\&\\&\text{Y ahora calcularías el signo de la derivada}\\&\text{en un punto de cada intervalo.  Yo no la haré}\\&\text{porque al ser f ''(x) una parábola con coeficiente}\\&\text{director positivo ya sé que el intervalo izquierdo}\\&\text{será positivo, el del medio entre las raíces negativo}\\&\text{y el de la derecha positivo}\\&\\&\left(-\infty,2-\frac 43 \sqrt 3\right)\quad  f''(x)\gt 0\implies f \;creciente\\&\\&\left( 2-\frac 43 \sqrt 3,2+\frac 43 \sqrt 3 \right) f''(x)\lt0\implies f\;decreciente\\&\\&\left(2+\frac 43 \sqrt 3,\infty\right)\quad f''(x)\gt 0\implies f\; creciente\\&\\&·\\&\\&\text{El punto } x=2-\frac 43 \sqrt 3 \text{ es un máximo relativo}\\&\text{ya que la función pasa de creciente a decreciente}\\&\\&\left( 2-\frac 43 \sqrt 3,--- \right)\approx(-0.3094,24.6336)\\&\\&\text{El punto } x=2+\frac 43 \sqrt 3 \text{ es un mínimo relativo}\\&\text{ya que la función pasa de decreciente a creciente}\\&\\&\left( 2+\frac 43 \sqrt 3,\;---\right)\approx(4.3094,-24.6336)\\&\\&·\\&\\&\text{La derivada segunda es}\\&\\&f''(x)=6x-12\\&\\&\text{Vale 0 para}\\&6x=12\\&x=2\\&\\&\text{Ese es el punto de inflexión }(2,0)\\&\\&(-\infty,2)\quad f''(0)=-12\lt0 \implies \text{Cóncava hacia abajo}\\&\\&(2, \infty)\quad  f''(3) = 18-12=6\gt 0 \implies \text{Cóncava hacia arriba}\\&\end{align}$$

Y esta es la gráfica.

Y eso es todo, saludos.

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