Calcular el área limitada por las curvas

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¡Hola Juan Manuel!

Son integrales impropias. Si quieres las podemos hacer de forma rápida o de forma rigurosa. Mejor las hago de forma rigurosa y tú luego abrevias lo que tú profesor e deje abreviar, me refiero a toda la parafernalia de la notación de los límites.

En el número 1 nos muestran las gráficas como si no se cortaran, pero ¿Y si nos engañan? En los ejercicios de geometría engañan muchísimo con las figuras.

$$\begin{align}&\frac 1x=\frac{x}{1+x^2}\\&\\&1+x^2=x^2\\&1=0\\&\text{no se cortan}\\&\\&A=\int_1^{\infty}\left(\frac 1x-\frac{x}{1+x^2}\right)dx=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\int_1^{K}\left(\frac 1x-\frac{x}{1+x^2}\right)dx=\\&\\&\lim_{K\to\infty} \left[ln|x|-\frac 12ln(1+x^2)  \right]_1^K=\\&\\&\lim_{K\to\infty}ln \left(\frac{|x|}{\sqrt {1+x^2}} \right) \Bigg|_1^K=\\&\\&\lim_{K\to \infty}ln \left(\frac{|K|}{\sqrt{1+K^2}}\right)-ln \frac{1}{\sqrt{2}}=\\&\\&\lim_{K\to \infty}ln \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{1+K^2}}{|K|}}\right)+ln \sqrt 2=\\&\\&\lim_{K\to \infty}ln \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1+K^2}{K^2}}}\right)+ln \sqrt 2=\\&\\&\lim_{K\to \infty}ln \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{K^2}+1}}\right)+ln \sqrt 2=\\&\\&ln \left(\frac 1{\sqrt {0+1}}\right)+ln \sqrt 2=ln1+ln \sqrt 2= ln \sqrt 2\end{align}$$

Y eso es todo, resolvemos solo un ejerccio en cada pregunta.  Si quieres el otro lo mandas en otra pregunta.

Saludos.

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