El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y=x^2 y y=4 ,
Gira alrededor del eje y, es:
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¡Hola Juan David!
El volumen lo genera el trozo de crva comprendido entre x=0 y el corte de la recta y=4 de la derecha
4=x^2
x=2
Cuando se gira alrededor del eje y podemos hacer dos cosas, usar el método de los discos sobre la función inversa x = f^-1(y) o usar el método de los cascarones cilíndricos, es este segundo el que usaré ya que el de los discos solo puede tener interés si la integral a realizar es más sencilla.
$$\begin{align}&V=2\pi\int_a^bx f(x) dx\\&\\&V=2\pi\int_0^2x·x^2dx= 2\pi\int_0^2x^3dx=\\&\\&2\pi \frac{x^4}{4}\bigg|_0^2=2\pi·\frac{16}{4}=8\pi\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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¡Ja Ja Ja Ja Ja! No te empeñes Jorge Herrera, no tienes puta idea de matemáticas, dedícate a dar consejos a las embarazadas y otros que se dejen embaucar pensando que sabes algo. Sin quererlo acabas de calcular el volumen de la curva girando alrededor del eje horizontal y=4, que me parece que no es lo que preguntaban. ¿Te das cuenta, no? Cómo puedes llamarte experto si un zagal de 16 años sabe hacer lo que tú no sabes.
1 respuesta más de otro experto
La parábola y la recta se cortan aquí:
Para x^2 =4 ... x =2
Partimos de la diferencia de las dos ecuaciones:
y =x^2 -4
Esta ecuación define el radio de las circunferencias que describen cada uno de los puntos de la función al rotar.
La superficie de cada circunferencia:
S =pi (x^2 -4)^2
Y el volumen (las circunferencias las vemos como finísimos discos de grosor 'dx')
dV =pi (x^2 -4)^2 dx
Y la suma de los volúmenes de todos ellos se obtiene con la siguiente integral:
integral pi(x^2 -4)^2 dx =
= pi integral (x^4 +16 -8x^2) dx =
= pi ((1/5) x^5 -(8/3)x^3 +16x +C
.
Pero esta es una integral definida en el intervalo {0, 2} como se vio arriba, la evaluamos en dicho intervalo:
Para 'x=0' la función es cero, quedando:
V =| 2 pi (1/5)*2^5 -(8/3)*2^3 +16*2| =30.77 u^3
.
*** Valor absoluto, por supuesto