Revisar el siguiente ejercicio de ecuaciones diferenciales y determinar si tiene errores

La solución que has pasado me parece correcta, sin embargo no entiendo muy bien por qué resuelves la ecuación diferencial mediante series de potencias, ya que en este caso es un poco más engorroso. En el ejercicio, la ecuación es perfectamente resoluble por variables separables tal y como te muestro a continuación:

Nos dicen que la razón de cambio de la población de bacterias es proporcional a la misma, con lo que tal y como indicas la ecuación diferencial que hay que resolver es:

$$\begin{align}&\frac{dP(t)}{dt}=kP(t)\end{align}$$

Donde k es una constante de proporcionalidad en principio desconocida. En esta ecuación podemos separar variables de la forma:

$$\begin{align}&\frac{dP(t)}{P(t)}=kdt\end{align}$$

Con lo que intargando ambos miembros de la igualdad:

$$\begin{align}&ln(P(t))=kt+cte\end{align}$$

Realizando la exponencial de ambos términos, tenemos:

$$\begin{align}&P(t)=e^{kt+cte}=e^{kt}e^{cte}=Ce^{kt}\end{align}$$

Ya que la exponencial de una constante es también una constante. Imponiendo la condición inicial P(t=0)=P0, se llega al resultado que tú obtuviste:

$$\begin{align}&P(t)=P_{0}e^{kt}\end{align}$$

A partir de aquí, el ejercicio sigue exactamente igual que la solución que has mandado. Con la condición de que en una hora la población ha aumentado hasta los 4/3 del valor incial se puede obtener k de la misma forma en la que tú lo has hecho, obteniendo el mismo resultado final.

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¡Hola Oscar!

El planteamienteo está bien, si la razón de crecimineto es proporcional al número de bacterias presente la ecuación diferencial que rige el proceso es

dP/dt = kP

Luego pone mal esto

dP/dt + kP = 0

tendría que ser

dP/dt - kP = 0

Luego pone la solución como una serie de potencias y deriva la serie de potencias, está bien derivada, todo ello lo reemplaza en la ecuación diferencial.

Luego debe sincronizar los sumatorios mediante cambios en la variable índice, en el primer sumatorio sí que hace cambios que están bien hechos mientras que en el segundo es un simple cambio de letra.

Tras esto puede agrupar los dos sumatorios en uno y está bien hecho.

Como la serie es un polinomio tiene que tener 0 todos los términos para valer 0.

Se obtiene una relación entre un coeficiente de la serie y el siguiente.

Luego no explica cómo a partir de esa relación calcula cuánto vale cada uno. Pero es ahí donde deshace el error cometido al principio con lo cual los coeficentes calculados están bien y nos da una serie bastante familar de la ecuación exponencial.

Luego cuando llega a

P=Co·e^(kt)

Está bien.

Le queda por encontrar Co y k, para ello sabe que

P(0) = Co·e^0 = Co=Po

y que para t=1 se tiene P(1)=(4/3)·Po

P(1)=Po·e^k = (4/3)·Po

e^k = 4/3

k=ln(4/3)

Vale, está bien, pero como me líaba lo hice yo todo.

Y la fórmula que pone

P(t) = Po·e^[t·ln(4/3)]

Está bien.

Y la parte final está bien.

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Luego está todo bien salvo que se confundió en un signo durante bastante tiemepo aunque luego lo enmendó sin decirnos nada.

Y eso es todo, saludos.

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