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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Andrés!
La fórmula para la superficie lateral de revolución en torno al eje X es:
$$\begin{align}&S=2\pi \int_a^bf(x) \sqrt{1+(f'(x))^2}dx\\&\\&f(x)=x^3\implies f'(x)=3x^2\\&\\&S=2\pi\int_0^{\frac 12}x^3 \sqrt{1+9x^4}dx=\\&\\&t=1+9x^4\\&dt=36x^3\;dx\implies x^3 \;dx=\frac 1{36}dt\\&x=0\implies t=1+0=1\\&x=\frac 12\implies t=1+\frac 9{16}=\frac{25}{16}\\&\\&=2\pi\int_1^{\frac{25}{16}} \sqrt t·\frac 1{36}dt=\\&\\&\left.\frac \pi{18}·\frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}\right|_1^{\frac{25}{16}}=\left.\frac \pi{18}·\frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}\right|_1^{\frac{25}{16}}=\\&\\&\left. \frac{\pi}{27}t^{\frac 32}\right|_1^{\frac{25}{16}}=\frac{\pi}{27}\left(\frac{125}{64}-1 \right)=\\&\\&\frac{\pi}{27}·\frac{125-64}{64}=\frac{61\pi}{1728}\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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