Necesito sacar el volumen del octaedro

·

·

¡Hola Anónimo!

No sé si un octaedro puede ser inscrito en una esfera. Si llamamos a a la arista la distancia del centro a uno de los cuatro vértices de la base de las pirámides se calcula mediante:

$$\begin{align}&d=\frac {\sqrt 2}{2}a\\&\\&\text{Y la distancia a uno de los vertices superior de las pirámides es}\\&\\&d_2=\sqrt{a^2-\left(\frac {\sqrt{2}}2a  \right)^2}= \sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=a·\frac 1{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}a\end{align}$$

Vale, si que se puede inscribir.

El radio R es una de esas distancias que hemos calculado

$$\begin{align}&\frac{\sqrt 2}{2}a=R\\&\\&a=\frac{2}{\sqrt 2}R=R \sqrt 2 \\&\\&\text{Y ahora usamos la fórmula}\\&\\&V= \frac 13 \sqrt 2·a^3=\frac 13 \sqrt 2(R \sqrt 2)^3=\\&\\&\frac 13 \sqrt 2·\sqrt {2^3}·R^3=\frac 13 \sqrt{2^4}R^3=\\&\\&\frac 13·2^2R^3= \frac 43R^3\end{align}$$

:

: