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¡Hola Andrés!
Son muchísimos ejercicios, haré alguno y los otros deberías formularlos en otras preguntas.
1) f(x) = 4x
Si haces la gráfica verás que la recta pasa por el punto (0,0) y está en el primer cuadrante si a es positivo. La región que se define es un triangulo entre 0 y a, por lo tanto el área es:
$$\begin{align}&A=\int_0^a4x \;dx= 2x^2\bigg|_0^a= 2a^2-0 = 2a^2\\&\\&\text{la respuesta es la d)}\\&\\&\\&\\&2) \int 2(\sqrt[3]x \sqrt [3] x \sqrt [3]x)dx=2\int \sqrt[3]{x·x·x}dx=\\&\\&2\int \sqrt[3]{x^3}=2\int x\;dx= 2·\frac {x^2}{2}+k = x^2+k\\&\\&\text{la respuesta es la d)}\\&\\&\\&\\&3) \int k\;dx =kx+c\\&\\&\text{La respuesta es la c}\\&\\&\\&\\&4)\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = ln|f(x)|+k\\&\\&\text{La respuesta es la a)}\\&\\&\\&\\&5)\int \frac{x^3+3x^2-18x}{(x-3)(x+6)}dx=\\&\\&=\int \frac{x(x^2+3x-18)}{(x-3)(x+6)}dx=\\&\\&\text{Ahora factorizamos el numerador con la fómula}\\&\\&(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab\\&\\&=\int \frac{x(x-3)(x+6)}{(x-3)(x+6)}dx=\int x\;dx=\frac {x^2}2+C\end{align}$$Entonces para este yo daría dos respuestas:
b) Factorización y simplificación
c) División sintética
Luego elige tú la que quieras, tal como lo he hecho yo sería más bien la b. Pero otra forma de hacerlo sería por división sintética si no hubiera hecho la factorización previa.
Yo me decantaría por la c) pero no es una respuesta discutible.
Y eso es todo, debes trocear lo que queda en digamos tres preguntas por ejemplo.
Saludos.
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Donde dije no es una respuesta discutible quería decir no es una respuesta indiscutible
1 respuesta más de otro experto
Son muchos ejercicios para una sola pregunta, te envío los primeros 2 y espera que otro experto responda las que siguen, o envía otra pregunta por separado (no más de 2 ejercicios por pregunta)
$$\begin{align}&1) f(x) = 4x\\&Area = \int_0^a 4x \ dx = 2x^2 \bigg|_0^a=2a^2 \\&\text{Rpta: Opción d}\\&\\&2) \int2(\sqrt[3]x \sqrt[3]x \sqrt[3]x) \ dx = 2\int(x^{1/3} x^{1/3} x^{1/3}) \ dx = 2\int x \ dx = x^2+C\\&\text{Rpta: Opción d}\\&\end{align}$$Salu2