Derivada parcial de por por limite
calcular f'x en (2;1)
$$\begin{align}&f(x;y)=\sqrt{xy+\frac{y}{x}}\\&f'x= \lim _{Δx\to 0}\left(\frac{\left(f\left(2+Δx;1\right)-f\left(2;1\right)\right)}{Δx}\right)???\\&rspta= \frac{3\sqrt{10}}{40}\end{align}$$por favor solo el limite necesito saber el procedimiento para llegar a esa rspta
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Matías!
$$\begin{align}&f(x,y)=\sqrt{xy+\frac{y}{x}}\\&\\&\frac{\partial f(2,1)}{\partial x}= \lim _{Δx\to 0}\frac{f(2+Δx,1)-f(2,1)}{Δx}=\\&\\& \lim _{Δx\to 0}\frac{\sqrt{(2+\Delta x)·1 + \frac 1{2+\Delta x}}-\sqrt{2·1+\frac 12}}{Δx}=\\&\\& \lim _{Δx\to 0}\frac{\sqrt{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}}-\sqrt{\frac 52}}{Δx}=\\&\\&\text{Multiplicamos como siempre por el conjugado}\\&\\&= \lim _{Δx\to 0}\frac{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}-\frac 52}{Δx\left(\sqrt{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}}+\sqrt{\frac 52}\right)}=\\&\\& \lim _{Δx\to 0}\frac{\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}-\frac 12}{Δx\left(\sqrt{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}}+\sqrt{\frac 52}\right)}=\\&\\& \lim _{Δx\to 0}\frac{ \frac{2\Delta x(2+\Delta x)+2-2- \Delta x}{2(2+\Delta x)}}{Δx\left(\sqrt{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}}+\sqrt{\frac 52}\right)}=\\&\\& \lim _{Δx\to 0}\frac{ \frac{4\Delta x+2(\Delta x)^2-\Delta x}{2(2+\Delta x)}}{Δx\left(\sqrt{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}}+\sqrt{\frac 52}\right)}=\\&\\& \lim _{Δx\to 0}\frac{ \frac{3\Delta x+2(\Delta x)^2}{2(2+\Delta x)}}{Δx\left(\sqrt{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}}+\sqrt{\frac 52}\right)}=\\&\\&\lim _{Δx\to 0}\frac{ \frac{3+2\Delta x}{2(2+\Delta x)}}{\sqrt{2+\Delta x + \frac 1{2+\Delta x}}+\sqrt{\frac 52}}=\\&\\&\frac{\frac 34}{\sqrt{\frac 52}+\sqrt{\frac 52}}=\frac{\frac 34}{2·\frac{\sqrt 5}{\sqrt 2}}=\frac{3 \sqrt 2}{4·2· \sqrt 5}=\frac{3 \sqrt{10}}{40}\\&\end{align}$$Que es justo lo que nos decían.
Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Jope Matías! Esta respuesta se merece un Excelente, mira a ver si la cambias la nota abajo pinchando el botón donde pone votada.
Saludos.
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