Hallar extremos relativos con hessiano
$$\begin{align}&z=\left(x^2-2y^2\right)e^{x-y}\end{align}$$la rspta indica que es en el punto (-4:-2) que hay un máximo relativo
No comprendo:
a)Como despeja por e y de las derivadas parciales primeras para lograr obtener (-4;2)(se que satisface la ecuación pero no comprendo el despeje que realiza para llegar a ese punto).
b)porque no usa el punto (0;¿0) Qué también genera nulidad en las derivadas parciales primeras?
2 respuestas
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¡Hola Matías!
Los puntos críticos de una función de dos variables son aquellos donde se anulan las dos derivadas parciales
$$\begin{align}&z=(x^2-2y^2)e^{x-y}\\&\\&\frac{\partial z}{\partial x}= 2xe^{x-y}+(x^2-2y^2)e^{x-y}=0\\&\\&e^{x-y}(2x+x^2-2y^2)=0\\&\\&\text{como }e^{x-y}\gt 0\\&\\&2x+x^2-2y^2=0\\&\\&\\&\\&\frac{\partial z}{\partial y}= -4ye^{x-y}+(x^2-2y^2)(-e^{x-y})=0\\&\\&e^{x-y}(-4y-x^2+2y^2)=0\\&\\&-4y-x^2+2y^2=0\\&\\&4y +x^2-2y^2=0\\&\\&\text{Igualando }\\&\\&2x+x^2-2y^2=4y +x^2-2y^2\\&\\&2x=4y\\&\\&x=2y\\&\\&\text{sustituimos en la segunda}\\&\\&4y+(2y)^2-2y^2=0\\&\\&4y + 4y^2-2y^2= 0\\&\\&4y +2y^2=0\\&\\&2y+y^2 = 0\\&\\&y(2+y)=0\\&\\&y_1=0\implies x_1=0\\&y_2=-2\implies x_2=-4\\&\\&\end{align}$$Luego los dos puntos críticos son (0, 0) y (-4, -2)
Mira a ver si sabes continuar después de esto, ya sabes que tienes que calcular las derivadas segundas para formar el Hessiano.
Saludos.
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;)
Hola Matias !
Te lo acabo:
La matriz Hessiana es
$$\begin{align}&z_{xx} \ \ z_{xy}\\&\\&z_{yx} \ \ z_{yy}\end{align}$$$$\begin{align}&z_{xx}=e^{x-y}(2x+x^2-2y^2)+e^{x-y}(2+2x)=e^{x-y}(x^2+4x-2y^2)\\&\\&z_{xy}=-e^{x-y}(2x+x^2-2y^2)+e^{x-y}(-4y)=e^{x-y}(-x^2-2x+2y^2-4y)\\&\\&z_{yy}=-e^{x-y}(-4y-x^2+2y^2)+e^{x-y}(-4+4y)=e^{x-y}(x^2-2y^2+8y-4)\\&\\&z_{yx}=e^{x-y}(-4y-x^2+2y^2)+e^{x-y}(-2x)=e^{x-y}(-x^2-2x+2y^2-4y)=z_{xy}\\&\\&\end{align}$$El H(0,0)=
0 0
0 0
ese determinante da 0, luego este criterio no decide
En (-4,-2)
Luego es un máximo
Saludos
;)
;)