Factor adecuado para la siguiente Ecuación diferencial
Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando el factor integrante adecuado
$$\begin{align}&[1+\frac{e^y}{x}]dx=(x+3e^y)dy\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Víctor!
La ponemos en la forma
Mdx + Ndy = 0
para no llevarnos a engaño.
$$\begin{align}&\left( 1 + \frac{e^y}{x}\right)dx-(x+3e^y)dy=0\\&\\&M_y= \frac{e^y}{x}\\&\\&N_x=-1\\&\\&\text{tenemos}\\&\\&M_y-N_x=\frac{e^y}{x}+1\\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=1 \quad\text{ que no depende de x}\\&\\&\text{Y en este caso el factor integrante es:}\\&\\&\mu(y) = e^{-\int \frac{M_y-N_x}{M}dy} =e^{-\int dy}=e^{-y}\\&\\&\text{Multiplicamos la ecuación por }e^{-y}\\&\\&\left( e^{-y} + \frac{1}{x}\right)dx-(xe^{-y}+3)dy=0\\&\\&\text{La solución es una función }\\&u(x,y)=C\\&\\&\text{Integramos el primer miembro respecto a x}\\&\\&u(x,y)=xe^{-y}+ln x+\varphi(y)\\&\\&\text{derivamos respecto de y e igualamos al segundo}\\&\\&-xe^{-y}+\varphi'(y) = -xe^{-y}-3\\&\\&\varphi'(y)=-3\\&\\&\text{integramos respecto de y}\\&\\&\varphi(y)=-3y\\&\\&\text{luego la respuesta es}\\&\\&xe^{-y}+ln x-3y=C\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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