Hallar la integral de sen(lnx)dx
Al realizarlo primero utilice el método de sustitución u=lnx quedando du=(1/x)dx despejando dx=xdu, entonces al hacer eso me queda una integral la cual procedo a utilizar integración por partes, quedándome una integración cíclica al realizarla, necesito confirmar si lo que estoy haciendo esta bien y cuanto resultaría
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anyara!
Por sustitución no veo el camino ya que no tenemos como factor la derivada del cambio, yo creo que será por partes.
$$\begin{align}&I=\int sen(ln\,x)dx=\\&\\&u= sen(ln\,x)\qquad du=\cos(ln\,x)·\frac 1xdx\\&dv=dx\qquad\qquad v=x\\&\\&=x·sen(ln\,x)- \int x·\cos(lnx)·\frac 1x dx=\\&\\&x·sen(ln\,x)- \int \cos(lnx)\;dx=\\&\\&\text{integramos otra vez por partes}\\&\\&u= \cos(ln\,x)\qquad du=-sen(ln\,x)·\frac 1xdx\\&dv=dx\qquad\qquad v=x\\&\\&=x·sen(ln\,x)-x·\cos(ln\,x)-\int sen(ln\,x)dx\\&\\&\text{Y volvemos a la integral inicial, luego}\\&\\&I=x·sen(ln\,x)-x·\cos(ln\,x)-I\\&\\&2I=x·sen(ln\,x)-x·\cos(ln\,x)\\&\\&I = \frac{x·sen(ln\,x)-x·\cos(ln\,x)}{2}\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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