Hallar el valor de la integral definida de x(4-x)^1/2dx
Su integral va de 0 a 4, utilice sustitución dejando u= 4-x de la cual despeje x y para reemplazar por lo que en fin la sustitución me da - (4-u)(u)^1/2du
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anyara!
A mí en las integrales definidas con cambio de variable me gusta hacer el cambio de límites de integración a la vez que el cambio de variable. Ello significa que no hay que deshacer el cambio después. Soy consciente de que muchas personas no lo hacen así y algunos maestros ni siquiera conozcan eso.
$$\begin{align}&\int_0^4 x(4-x)^{\frac 12}dx=\\&\\&t=4-x\implies x=4-t\\&dt=-dx\implies dx=-dt\\&x=0\implies t=4-0=4\\&x=4\implies t=4-4=0\\&\\&=-\int_4^0 (4-t)t^{\frac 12}dt =\\&\\&\text{voy a cambiar el signo cambiando los límites de integración}\\&\text{creo que salimos ganando todos}\\&\\&=\int_0^4\left(4t^{\frac 12}-t^{\frac 32}\right)dt=\\&\\&\left[4·\frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}- \frac{t^{\frac 52}}{\frac 52} \right]_0^4=\left[\frac 83·t^{\frac 32}-\frac{2}{5}·t^{\frac 52} \right]_0^4=\\&\\&\frac 83·4^{\frac 32}-\frac 25·4^{\frac 52}=\frac 83·8- \frac 25·32=\frac{64}3-\frac{64}{5}=\\&\\&\frac{320-192}{15}= \frac{128}{15}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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