Determinar la cota inferior y/o superior
Agradezco a quien me pueda ayudar con este ejercicio:
Determinar la cota inferior y/o superior de la siguiente sucesión.
$$\begin{align}&5n/n\end{align}$$
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Cielito!
5n/n = 5
Si en realidad quieres decir 5 elevada a la n entre n hay que escribirlo bien:
(5^n)/n
Aunque
5^n/n también estaría bien pero puede confundir más.
Voy a resolver este supuesto.
Solo hace falta que escribamos los primeros términos para darnos cuenta
5^1 / 1 = 5
5^2 / 2 = 25/2 = 12.5
5^3 / 3 = 125/3 = 41.6666...
Es monótona creciente.
Si esto se quiere calcular con rigor:
$$\begin{align}&\frac{5^{n+1}}{n+1}-\frac{5^n}{n}=\\&\\&\frac{5^{n+1}·n-5^n(n+1)}{n(n+1)}=\\&\\&\frac{n·5^{n+1}-n·5^n-5^n}{n(n+1)}=\\&\\&\frac{5n·5^{n}-n·5^n-5^n}{n(n+1)}=\\&\\&\frac{4n·5^n-5^n}{n(n+1)}=\\&\\&\frac{(4n-1)5^n}{n(n+1)}\gt0\\&\\&\text{porque }4n-1\gt 0\quad \forall n\in \mathbb N\\&\\&\text {luego}\\&\\&\frac{5^{n+1}}{n+1}-\frac{5^n}{n}\gt 0\\&\\&\frac{5^{n+1}}{n+1}\gt \frac{5^n}{n}\gt \quad\forall n\in \mathbb N\\&\\&\text{además}\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac{5^n}{n}= \infty\end{align}$$Luego la cota inferior es el primer término
a_1 = 5
y la cota superior no existe.
Sa lu dos.
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Valero Ángel el valor que me dan es 5n sobre n, no esta elevado.
Si es
$$\begin{align}&\frac {5n}n=5\\&superior=inferior=5\\&\\&\\&\\&\text{Si es }\\&\binom{5n}{n}= \frac{(5n)!}{(4n)!·n!}\\&\\&\text{Es creciente}\\&\binom{5n}{n}=\binom{5}{1}=5\\&\\&\binom{5·2}{2}=\binom{10}{2}=45\\&\\&\binom{15}{3}=455\\&\\&\binom{20}4=4845\\&\\&\text{y tiende a infinito}\\&\\&menor=5\\&superior=\infty\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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