Como hallar la sucesión si es monótona y si convergen o devergen

·

·

¡Hola Maira Pilar!

Calculamos el término general, los numeradores se ve claramente que difieren en tres unidades y los denominadores son los cuadrados, luego el término general es:

$$\begin{align}&a_i=\frac{3i-1}{(i+1)^2}\\&\\&\text{para ver si es monótona restamos dos terminos seguidos}\\&\\&\frac{3(i+1)-1}{((i+1)+1)^2}-\frac{3i-1}{(i+1)^2}=\\&\\&\frac{3i+2}{(i+2)^2}-\frac{3i-1}{(i+1)^2}=\\&\\&\frac{(3i+2)(i+1)^2-(3i-1)(i+2)^2}{(i+2)^2(i+1)^2}=\\&\\&\frac{(3i+2)(i^2+2i+1)-(3i-1)(i^2+4i+4)}{(i+2)^2(i+1)^2}=\\&\\&\frac{ 3i^3+6i^2+3i+2i^2+4i+2- 3i^3-12i^2-12i+i^2+4i+4}{(i+2)^2(i+1)^2}=\\&\\&\frac{-3i^2-i+6}{(i+2)^2(i+1)^2}\\&\\&\text{Esto es siempre negativo salvo para i=1}\\&\\&\text{Luego es creciente de }a_1 \;a\;a_2\text{, después decrece siempre}\\&\\&\text{El límite en el infinito es}\\&\\&\lim_{n\to \infty}\frac{3n-1}{(n+1)^2}=0\\&\\&\text{Ya que el denominador tiene grado mayor que el numerador}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.  No olvides valorar la pregunta con Excelente para ser atendida en futuras preguntas.

Sa lu dos.

:

: