Sea V un espacio Vectorial de dimensión finita y sea T un operador lineal sobre V.
Supóngase que el
$$\begin{align}&Rango(T^2 )=Rango(T)\end{align}$$Demostrar que la imagen y el espacio nulo de T son “disjuntos”, es decir, Tienen solo el vector nulo en común
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Andreina!
Llamaremos Ker T al núcleo o espacio de nulo de T
Llamaremos Im T a los elementos de la imagen de T
$$\begin{align}&Sea\; u \in (Ker\,T \cap Im\,T)\\&\\&\text{Por pertenecer al núcleo tenemos }T(u)=0\\&\\&\text{Por pertenecer a la imagen } \exists\, w\in V\; t.q.\; T(w)=u\\&\\&T^2(w) = T[T(w)]=T(u)=0\\&\\&dim \;T(V)=rango \,T= rango\, T^2= dim\,T^2(V)= dim\,T[T(V)]\\&\\&\text{Luego el operador T restringido a T(V) es biyectivo}\\&\\&T\bigg|_{T(V)}: T(V) \to T(V)\\&\\&\text{Al ser biyectivo es inyectivo y el nucleo de todo}\\&\text{operador lineal inyectivo es el espacio nulo}\\&\\&Ker\,T\bigg|_{T(V)}=\{0\}\\&\\&\text{como }\\&\\&T[T(w)]=0\implies T(w)=0\\&\\&\text{y como }T(w) = u\\&\\&u=0\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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