Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo N
Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto.
Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Marcos!
Son demasiados ejercicios haré el 1 y el 3
$$\begin{align}&\text{Es discontinua en x=1 que no pertenece al intervalo}\\&\text{de integración, luego solo es impropia por el extremo }\infty\\&\\&\int_2^{\infty} \frac{dx}{(x-1)^2}=\\&\\&=\lim_{K\to \infty} \int_2^{K} \frac{dx}{(x-1)^2}=\\&\\&t=x-1\\&dt = dx\\&x=2\implies t=2-1=1\\&x=K \implies t=K-1\\&\\&=\lim_{K\to\infty}\int_{1}^{K-1}\frac{dx}{t^2}= \lim_{K\to\infty}\int_{1}^{K-1}t^{-2}dt=\\&\\&\lim_{K\to\infty} \frac{t^{-1}}{-1}\bigg|_1^{K-1}=-\lim_{K\to \infty} \frac 1t\bigg|_1^{\infty}=-\frac{1}{\infty}+\frac 11=-0+1=1\\&\\&-------------------------\\&\\&\text{Es discontinua en x=3, por eso es impropia}\\&\\&\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{3-x}}=\lim_{k\to 3^-}\int_0^k (3-x)^{-\frac 12}\,dx=\\&\\&t= 3-x\\&dt = -dx\\&x=0\implies t=3-0=3\\&x=k\implies t=3-k\\&\\&= \lim_{k\to 3^-}\int_3^{3-k}-t^{-\frac 12}dt=\\&\\&\lim_{k\to 3^-} \left.-\frac{t^{\frac 12}}{\frac 12}\right|_3^{3-k}=\lim_{k\to 3^-} - 2{\sqrt t}\bigg|_3^{3-k}=-2 \sqrt{3-3^-}+ 2 \sqrt 3=\\&\\&-2 \sqrt 0+ 2 \sqrt 3= 2 \sqrt 3\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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