Quien resuelve ejercicios sobre conservación de la energía mecánica.
Considere la pista de tobogán mostrada en la figura. Los puntos marcados corresponden a: A = máximo absoluto, B = máximo local, C = mínimo local. Un bloque de hielo (masa en la figura) patina sobre la pista sin rozamiento apreciable. El bloque es apoyado sobre el punto C y se le imprime allí una rapidez, para lanzarlo hacia arriba por la pista. (a) ¿Cuál debe ser el valor de para que justo alcance a llegar al punto A? (Asumimos que el bloque no pierde nunca contacto con la pista). Para las preguntas (b), (c) y (d), el bloque es lanzado con la rapidez calculada en la pregunta (a). (b) Determine la rapidez con la cual pasa el bloque por el punto B. (c) Suponga que el radio de curvatura de la pista en el punto B vale 4.50 m. Determine la magnitud de la fuerza de contacto entre el bloque y la pista en ese punto. (d) ¿Cuál podría ser el valor mínimo del radio de curvatura de la pista en el punto B si se busca que el bloque se mantenga en contacto con ella al pasar por ese punto?
Amigos de todo expertos les pidos su colaboración en la solución de este ejercicio.
2 Respuestas
a)
En C la energía mecánica vale
E(C) = m·g·h + (1/2)·m·v(C)^2 = m·9,8·2 +(1/2)m·v(C)^2
Siendo v(C) la velocidad que se le imprime.
En A la velocidad es 0, pues el bloque justo alcanza a llegar a A, así que la energía mecánica vale
E(A) = m·g·5 + 0 = m·9,8·5
El teorema de conservación de la energía mecánica establece que la energía mecánica se conserva en ausencia de trabajo exterior, por tanto las energías mecánicas en C y en A deben ser iguales:
m·9,8·2 + (1/2)·m·v(C)^2 = m·9,8·5
Dividiendo por m y multiplicando por 2 queda
39,2 + v(C)^2 = 98
v (C)= 7,67 m/s
b)
En B la energía mecánica vale
E(B) = m·9,8·3,20 + (1/2)·m·vB^2
Por el teorema de conservación, esta energía ha de ser igual a la energía mecánica en cualquier punto del tobogán, por ejemplo, en A:
m·9,8·3,20 + (1/2)·m·vB^2 = m·9,8·5
Dividiendo por m y operando queda
v(B) = 5,94 m/s
c)
En B, el bloque está describiendo una curva de radio r y, por tanto, la resultante de las fuerzas que actúen sobre él debe ser centrípeta (dirigida hacia el centro de la curva). Por tanto, tomando el sentido positivo hacia el centro de la curva,
m·g – R(N) = m·v(B)^2 / r
En la que R(N) es la reacción normal del plano sobre el bloque, que es la fuerza por la que nos preguntan.
R(N) = m·(9,8 – 5,94^2 / 4,50) = m·2 N
Esta fuerza, de valor 2m, es la que ejerce el plano sobre el bloque, que es igual y opuesta a la que ejerce el bloque sobre el plano (acción-reacción).
d)
Para que se mantenga en contacto, la reacción normal no puede llegar a valer 0, pues si no hay contacto el plano no puede interactuar con el bloque; por tanto, poniendo 0 como valor de R(N) obtendremos el radio mínimo:
m·g – 0 = m·v(B)^2 / r
r = 5,94^2/9,8 = 3,6 m
Es decir, si el radio de la curva es superior a 3,6 metros el bloque seguirá en contacto con el tobogán. Pero si es inferior (curva muy cerrada) el bloque se despegará del tobogán y saldrá disparado hacia arriba.
