El derecho a que le paguen por los gastos adicionales de moverse al nuevo centro de trabajo dependen del convenio de aplicación. En general, si se reclama, se consigue cobrar por ello. Por lo menos en mi partido judicial.
Respecto a reducirle la jornada, podríamos estar ante un asunto complicado. Si está en reducción por cuidado de menor usted debería seguir teniendo un contrato s jornada completa (generalmente modelo 100 o 189). Por cuidado de hijo se mantiene el tipo de contrato y se reduce la jornada durante el tiempo que se solicite la reducción. En esta situación la empresa NO puede reducirse la jornada por su voluntad. Sería una modificación sustancial de las condiciones de trabajo y habría un procedimiento a seguir... Etc.
Si la empresa lo ha hecho "mal", y al reducir su jornada por contrato de menor le cambiaron el contrato y ahora tiene un contrato de jornada inferior a la completa, la empresa puede ir adaptando el porcentaje de jornada a las necesidades de la empresa. Si esto es así, habría mucho que reclama ahí. Para empezar, ese cambio de contrato, la cotización del tiempo que se haya hecho mal... Etc, y por consiguiente, demostrando que el contrato sigue siendo a jornada completa con reducción por cuidado de menor, entonces, de seguido, se reclama la injustificacion de la modificación de jornada.
Debería empezar por ver qué contrató tiene a día de hoy. Aparece en su vida laboral, que se la pueden entregar en la Tesorería general de la seguridad social.
En cualquier caso, le recomiendo que se ponga en contacto con un especialista en derecho laboral, pues casi seguro que pueda reclamar, y el profesional podrá ayudarme a redactar la reclamación.