Ecuaciones dinámicas en una balanza de torsión
En una balanza de torsión, un cuerpo que rota, está sujeto respecto a un eje de simetría y un muelle helicoidal de constante de torsión k. Al rotar el cuerpo un pequeño ángulo φ, se genera un momento dado por τ= -k φ
a) Utilizando las ecuaciones de la dinámica de rotación, demuestre que la balanza de torsión desscribe idealmente un movimiento armónico simple de expresión
$$\begin{align}&φ(t)= φ \cos( ωt + δ)\end{align}$$donde ω es la frecuencia angular del movimiento oscilatorio. Obtenga el valor de ω en función de la constante de torsión k y el momento de inercia I del cuerpo.
b) Suponga que la balanza de torsión presenta un amortiguamiento débil, de forma que se puede considerar que la frecuencia angular permanece constante, con un tiempo de extinción τ=3T, siendo T el período de oscilación. ¿Cuántos períodos han de trasncurrir para que la amplitud de oscilación decaiga al 10% de su valor inicial?
1 respuesta
Oscilaciones de la balanza de torsión.
Al apartar del equilibrio un angulo fi la balanza aparece la cupla recuperadora proporcional al angulo fi.. tanto mayor cuanto lo sea el angulo de apartamiento.
Si el sistema que gira tiene momento de inercia I respecto del eje de giro... la ecuación general te estaría quedando: I dfi^2/dt^2 = Momento recuperatorio que se opone al movimiento= -Kfi
La ecuacion seria Idfi^2/ dt^2 + Kfi = 0 ...con solucion fi(t) = ( fi)o cos ( wt + d) y
w= pulsacion= ( k / I) ^1/2 y periodo T = 2pi / w
Aquí se observa respecto de la ecuación diferencial del péndulo gravitatorio simple, que tanto w como T son independientes del apartamiento inicial. Ahora no es necesario trabajar con ángulos pequeños para conseguir oscilaciones perfectamente isócronas.
Como consecuencia del frotamiento ( aire) ... y en las condiciones que te indica el enunciado, la oscilación decrece exponencialmente con periodo casi constante.
La ley que sigue este movimiento es:
Idfi^2/ dt^2 + (Tau ) dfi/dt + Kfi = 0 …..con solucion:
fi(t) = (fi)o e ^(–t/Tau) cos (wt + d)
El factor que maneja el decrecimiento es: ( el resto sinusoidal no varia)
fi(t) = fi(o) e ^( - t/Tau)
Si Tau=3T = 6pi/w
fi (1) / fi(o) = 0.10 = fi(o)e ^-(delta t/3T)....................ln 0.1 = -(delta t/3T) ............delta t= tiempo - delta t - que tarda en disminuir la amplitud inicial hasta el 10 % = -2.30 x ( - 3T )= 7 periodos aproximadamente.
