Problemas de calculo integral: Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones y=x^3 Y y= 2x-x^2 .

Te dejo el primero...

Vamos a empezar, como sugiere, por la gráfica

Parece claro que los puntos de intersección son x=0, x=1, sin embargo vamos a verificarlo (ya que puede haber otra oportunidad donde esto no esté tan claro). Para esto igualamos ambas expresiones

$$\begin{align}&x^3=2x-x^2\\&x^3+x^2-2x=0\\&x(x^2+x-2)=0\\&x=0 \\&\lor \\&x^2+x-2=0\\&\text{Se ve a simple vista que x=1 es solución, dividiendo se obtiene que la otra solución es x=-2}\end{align}$$

Dicho esto, voy a volver a graficar, ya que el área que voy a calcular es:

Y tenemos 2 regiones. Entre -2 y 0, donde x^3 > 2x-x^2 y la otra región que es entre 0 y 1 donde 2x-x^2 > x^3. Dicho esto:

$$\begin{align}&Area = \int_{-2}^0x^3-(2x-x^2) dx + \int_0^1 2x-x^2 -x^3 dx = \int_{-2}^0x^3-2x+x^2 \ dx + \int_0^1 2x-x^2 -x^3 dx = \\&\bigg(\frac{x^4}{4}-x^2+\frac{x^3}{3}\bigg)\bigg|_{-2}^0 + \bigg(x^2-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\bigg)\bigg|_0^1=\\&\bigg(0-(\frac{(-2)^4}{4}-(-2)^2+\frac{(-2)^3}{3})\bigg) + \bigg((1^2-\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4})-0 \bigg)=\\&\bigg(\frac{8}{3} + \frac{5}{12} \bigg)=\frac{37}{12}\end{align}$$

Salu2

Gracias

Buenos días

En que página puedo realizar estas gráficas