¿Cómo resolver esta inecuación con valor absoluto a ambos lados? Sin elevarla al cuadrado

Pues directamente debes separar todos los casos (donde escriba > interpreta que es mayor o igual)

1° caso (x+4 >0....entonces x > -4)

|3x - 4| > x+4

Se separa en 2 nuevos casos

a) 3x - 4 > 0....(x > 4/3)

3x - 4 > x+4

2x > 8

x > 4 (como cumple las condiciones anteriores, esta solución es válida [4, +inf) )

b) 3x - 4 < 0...(x < 4/3)

-(3x - 4) > x+4

-3x + 4 > x + 4

-2x > 0

2x < 0

x < 0 (combinando con las otras condiciones, queda [-4 , 0)

2° Caso (x+4 < 0....entonces x < -4)

|3x-4| > - (x+4)

|3x-4| > - x - 4

Nuevamente tenemos 2 nuevos casos

a) 3x - 4 > 0...(x > 4/3) Pero esto es incompatible con la condición anterior, por lo tanto no hay solución aquí

b) 3x - 4 < 0....(x < 4/3)

-(3x-4) > - x - 4

-3x + 4 > -x - 4

-2x > -8

X < 4 (juntando con lo anterior, la solución es (-inf, -4)

Juntando todas las alternativas, la solución es

(-inf, -4) U [-4, 0) U (4, +Inf) que simplificado sería

(-inf, 0) U (4, +Inf) que simplificado sería

Revisa las cuentas, pero creo que puedes entender la metodología

Salu2