¿Como encontrar los puntos de intersección?

http://www.geoan.com/analitica/recta/recta_espacio.html 

En el enlace anterior encontraras todo explicado de forma teorica. Hay diferentes formas de representar una interseccion de dos planos. Pero lo primero que debes ver es que la interseccion entre dos planos puede ser una recta, puede ser el mismo plano (si los dos son iguales) o puede no tener interseccion si son paralelos.

En tu caso no son paralelos puesto que los vectores normales a los dos planos no son proporcionales (4, -2, 9)=k·(5, -1, -7) como no existe ningun valor de k que cumpla esto, no son proporcionales y por lo tanto los planos se cruzan en una recta. Para comprobar que no hay valor de k puedes hacer k=4/5=-2/-1=9/-7? si son todos iguales los planos son paralelos y si ademas 10/2=k los planos seran el mismo plano.

Bien, vamos al tema, lo mas sencillo para encontrar nuestra recta es darle un valor a una variable, por ejemplo, pondremos que x=0 (así todo será mas facil). Resolvemos el sistema de ecuaciones:

$$\begin{align}&4·0-2y+9z=10\\&-2·(5·0-y-7z=2)\\&Resuelvo\\&por\\&reduccion\\&9z+14z=10-4\\&z=\frac{23}{5}\\&y=-7·\frac{23}{5}-2=-\frac{171}{5}\end{align}$$

De aqui sacamos el punto (0, -171/5, 23/5). Ahora buscaremos otro punto que tenga z=0 y a partir de estos dos puntos encontraremos la recta que se puede representar de diversas formas.

$$\begin{align}&4x-2y+9·0=10\\&-2·(5x-y-7·0=2)\\&Reduccion\\&4x-10x=10-4\\&x=-1\\&y=5·(-1)-2=-7\end{align}$$

Y de aqui sacamos el otro punto (-1, 0, -7).

Ahora, a partir de estos dos puntos encontramos el vector que sigue la recta. Para hacer un vector hacemos P1-P2. Dependiendo de cual restemos nos dara hacia un sentido o hacia el otro, pero para una recta nos da igual, solo nos interesa la direccion.

P1-P2=(0, -171/5, 23/5) - (-1, 0, -7)=(1, -171/5, 58/5)

Como este vector solo lo queremos por la direccion lo multiplicaremos por 5 para que quede mas sencillo. Asi el vector vale v=(5, -171, 58)

Este vector sería como el "pendiente" de la recta y nuestra ordenada del origen será uno de los dos puntos por donde pasa la recta. Así nos queda como:

(x, y, z)=(5, -171, 58)·A+(-1, 0, -7)

Si le vas dando valores a A te ira dando todos los puntos de la recta. Sin embargo, no es una notacion muy buena. Y esto se puede aislar en un sistema de 3 ecuaciones:

$$\begin{align}&(x,y,z)=(5A-1, -171A, 58A-7)\\&x=5A-1\\&y=-171A\\&z=58A-7\end{align}$$

Ahora aislamos el valor A de cada ecuacion y como todas serán igual a A se puede hacer lo siguiente:

$$\begin{align}&A=\frac{x+1}{5}\\&A=-\frac{y}{171}\\&A=\frac{z+7}{58}\\&\frac{x+1}{5}=-\frac{y}{171}=\frac{z+7}{58}\end{align}$$

En esta ultima ecuacion, con que le des un valor a x y o z te dará los otros dos valores y encontraras todos los puntos que quieras.

Incluso, a veces, una recta se representa directamente como la interseccion de dos planos, es decir, que el mismo enunciado es la respuesta. Sin embargo, es más correcto hacerlo de esta forma.

Si solamente quieres los puntos puedes también sustituir en una ecuacion y resolver el sistema de dos ecuaciones todas las veces. No es muy recomendable pero se puede hacer. Yo recomiendo siempre complicarse la vida para entender mejor lo que haces, sin embargo eres libre de hacer lo que prefieras.

Espero haberte ayudado y si tienes alguna duda no dudes en preguntarme. Salu2.