Entiendo que conservas la baja del piso anterior. Por cierto, ¿te devolvieron alguna cantidad?
Pasos a seguir. Pon una queja (que te den el número de incidencia y, sobre todo, NO lo pierdas), digan lo que digan, en Gas Natural Fenosa indicando lo que está ocurriendo. Puedes hacerlo por teléfono (aunque algún compañero de por aquí te indicará que, mejor, por burofax. Afectos prácticos es exactamente igual). Espera un plazo razonable (por ejemplo un mes, siempre y cuando no sigan "molestándote" con las llamadas amenazantes). Si no contestan, o contestan con vaguedades, dan largas o cualquier otra cosa, pon una queja/denuncia ante tu Delegación de Industria (Ellos te informarán de como hacerlo y te ayudarán a redactarla). Que no se te olvide incluir el numero de incidencia que te dió Fenosa.
Y, evidentemente, si tienes los actuales pagos al día (de tu nuevo contrato) NO pueden cortarte la luz. Si lo hacen ... directamente a Industria a poner denuncia.