Cual sería el dominio y la imagen de f(x)= (2^x-1)/(2^x+1) ?
Querría saber la manera saber de ver cual es el dominio y la imagen de la función
f(x)= (2^x-1)/(2^x+1)
Dominio: la única restricción posible sería con el denominador igual a cero, pero esto es imposible en los reales en este caso: 2^x=(-1); xln2= ln(-1); y la única resolución que tiene es en los complejos: x= πi/ ln2. En definitiva:
Dominio: Para todo x=R.
Imagen, rango o codominio: Esta es una función con dos asíntotas horizontales que podemos calcular tomando límites para x ->+∞ y para x->(-∞).
Lím x->∞ (2^x-1)/(2^x+1); dividimos a numerador y denominador por 2^x:
[1 - (1/2^x)] / [1 + (1/2^x)];
(1-0) / (1+0) = 1; que es nuestra primera asíntota horizontal (cuando x->+∞)
Lím x->(-∞) (2^x-1)/(2^x+1);
[2^(-∞) -1]/[2^(-∞) +1];
{[1/(2^∞)] - 1} / {[1/(2^∞)] + 1};
(0 -1) / (0 + 1); (-1); que es nuestra segunda asíntota horizontal (cuando x-> (-∞) ).
En resumen, tu codominio, imagen o rango es el intervalo abierto de y o f(x): (-1; 1)
PD: Si pones la fórmula en Excel, observarás que independientemente del valor de x que pongas, f(x) oscilará entre (-1) y 1; haciendo un corte al eje y en el origen (es decir: para x=0; y=0).
Una excelente propuesta de Gustavo: 1) demostrar que la función no tiene máximos ni mínimos relativos; 2) demostrar que su primera derivada siempre es positiva (es estrictamente creciente de izquierda a derecha); y agrego 3) demostrar que a la izquierda de x=0 es cóncava hacia arriba y a la derecha se invierte.
Partamos del inicio: f(x)= (2^x-1)/(2^x+1)
1) f ' (x) = [2^x*ln2 (2^x + 1) - 2^x*ln2(2^x -1) ] / (2^x + 1)^2;
f ' (x) = 2^x*ln2 [(2^x + 1) - (2^x -1) ] / (2^x + 1)^2;
f ' (x) = 2*2^x*ln2 / (2^x + 1)^2; igualo a 0:
0 = 2^x; l2 0 = x; es inconsistente, por ende, no existen máximos ni mínimos al no poder igualarse a 0 la primera derivada.
2) f ' (x) = 2*2^x*ln2 / (2^x + 1)^2;
f ' (x) = 2^x * [2*ln2 / (2^x + 1)^2];
El [ ] es siempre positivo y 2^x es necesariamente >0, por lo que f(x) es siempre creciente de izquierda a derecha.
3) Concavidades: hallamos f " (x), reescribiendo f ' (x) para facilitar:
f ' (x) = 2*ln2 * [2^x / (2^x + 1)^2];
f " (x) = 2*ln2 * { [ln2*2^x *(2^x+1)^2 - 2*ln2*2^x*2^x*(2^x+1)] / (2^x + 1)^4};
f " (x) = 2*ln2 * { ln2*2^x *(2^x+1) [(2x+1) - 2^x ] / (2^x + 1)^4};
f " (x) = 2*ln2 * { ln2*2^x *(2^x+1) ] / (2^x + 1)^4};
f " (x) = 2*ln2 * { ln2*2^x ] / (2^x + 1)^3};
f " (x) = (ln16*2^x ) / (2^x + 1)^3;
El numerador será siempre positivo, pero el denominador será positivo para x>0 (cóncava abajo) y negativo para x<0 (cóncava arriba), con punto de inflexión de x=0.
Corrección sobre el final, desde:
f " (x) = 2*ln2 * { [ln2*2^x *(2^x+1)^2 - 2*ln2*2^x*2^x*(2^x+1)] / (2^x + 1)^4};
f " (x) = 2*ln2 * { [ln2*2^x *(2^x+1) [(2^x+1) - 2*2^x] / (2^x + 1)^4};
f " (x) = 2*ln2 * { [ln2*2^x *(2^x+1)(1 - 2^x)] / (2^x + 1)^4};
f " (x) = 2*ln2 * { [ln2*2^x *(1 - 2^x)] / (2^x + 1)^3}; reescribo:
f " (x) = { 2*ln2 * [ (ln2*2^x ) / (2^x + 1)^3] } * (1 - 2^x);
Todo lo que está { } será siempre positivo, pero:
1-2^x: Para x>0: positivo (cóncavo hacia abajo).
Para x=0: 0 (punto de inflexión)
Para x<0: negativo (cóncavo hacia arriba).
1 respuesta más de otro experto
El dominio se ve donde está definida la función, en este caso es un cociente de polinomios por lo que no estará definido donde el denominador sea 0.
El denominador de esta función es 2^x+1
2^x + 1 = 0
2^x = -1 Imposible
Por lo tanto la función está definida en todo R
Para la imagen hay que plantear la inversa de la función y ver donde está definida
$$\begin{align}&y = \frac{2^x-1}{2^x+1}\\&Sustituyo:\ 2^x+1=u\\&y = \frac{u-2}{u}\\&y = 1-\frac{2}{u}\\&y-1=-\frac{2}{u}\\&u=\frac{-2}{y-1}\\&Desarmo\ sustitución\\&2^x+1=\frac{-2}{y-1}\\&2^x=\frac{-2}{y-1}-1\\&2^x=\frac{-2-y+1}{y-1}\\&2^x=\frac{-y-1}{y-1}\\&x = log_2 \bigg(\frac{-y-1}{y-1}\bigg)\\&\text{El logaritmo está positivo para valores positivos, luego:}\\&\frac{-y-1}{y-1}>0\\&\text{Para que el cociente sea positivo, ambos términos deben tener el mismo signo}\\&a)\ -y-1>0 \to y >-1\\&b)\ y-1>0 \to y > 1\\&\text{De a) y b), }y>1\\&c)\ -y-1<0 \to y >1\\&d)\ y-1<0 \to y < 1\\&\text{De c) y d), no se obtiene ningún intervalo}\\&\text{Por lo tanto la imagen de la función es}\\&Im = (1, +\infty)\end{align}$$Salu2
Norberto, respecto a la imagen, creo que a tu demostración le faltaría demostrar que la función es estrictamente creciente o hallar los máximos / mínimos para estar seguros que la función está acotada en (-1, 1) porque puede ser que la función en los límites tenga esos valores, pero en medio tenga un valor mayor (o menor). Salu2 - Anónimo
Te dejo un ejemplo (aunque medio rebuscado), donde los límites en el infinito coinciden con esta función, sin embargo la función para x=0 alcanza el valor 5. La función es f(x)=(2^x - 1+10/(x^2+1))/(2^x + 1). Salu2 - Anónimo