Integral impropia si diverge o converge

∫ (de 1 a ∞) (1-x)e^(-x) dx;  

Para convertir a un intervalo cerrado [1 ; b] cambiamos ∞ = b, para tomar límite y aplicar la Regla de Barrow:

lím x-> b ∫ (de 1 a b) (1-x)e^(-x) dx;  

Indefinida:   Como la derivada del producto: xe^(-x) = e^(-x) - xe^(-x) = e^(-x) (1-x);  

reemplazo:

lím x->b ∫  [xe^(-x)] dx = xe^(-x) + C;

Definida:   

Para x=1:  Lím x->b de:  1*e^(-1)  = 1/e;

Para x=b:  Lím x->b de:   xe^(-x) = x/e^x;  resto:

Lím x->b  de:  (x/e^x) - (1/e);  reemplazo con b= ∞:

Lím x->∞  de:  (x/e^x) - (1/e);

Como e^x crece más rápido que x cuando x tiende a ∞: x/e^x tiende a 0.

Resultado: -e^(-1); CONVERGE.

Al límite también lo podríamos haber obtenido por L'Hopital:

Derivo numerador y denominador por separado de: x/e^x:

Lím x->∞ 1 / e^x; 1/∞: tiende a 0.

Desde el inicio podemos ver que converge porque (x-1)e^(-x) tiende a 0 cuando x->∞; si aplicamos L'Hopital queda también 1/e^x.