Cual es la solución general de la ecuación 𝑦´´(𝑥)+𝑦(𝑥)=0 mediante series de potencia

y  '' + y = 0;  podría resolverse casi "mentalmente" en la forma:

m^2 +1=0;  m=+-i;  y= C1cosx + C2senx;

Pero como te solicitan la resolución por aproximación con serie de potencias:

y = ∑ (de 0 a ∞) a(n)x^n;

Derivo dos veces para obtener y '' y reemplazar:

y ' = ∑ (de 0 a ∞) n*a(n)x^(n-1);  pero si n=0 se anula el primer término y queda:

y ' = ∑ (de 1 a ∞) n*a(n)x^(n-1);

y '' = ∑ (de 1 a ∞) n*(n-1)*a(n)x^(n-2);  lo mismo ocurre si n=1, se anula:

y '' = ∑ (de 2 a ∞) n*(n-1)*a(n)x^(n-2);  reemplazamos:

∑ (de 2 a ∞) n*(n-1)*a(n)x^(n-2) + ∑ (de 0 a ∞) a(n)x^n = 0;

Para dejar ambas x elevadas al mismo factor sustituyo en el primer término n=k+2;  k=n-2;  y en el segundo:  n=k;

(k+2)*(k+1)*a(k+2)x^k +  a(k)x^k = 0;

[(k+2)*(k+1)*a(k+2) +  a(k) ] x^k = 0;  como x^k no puede ser =0:

(k+2)*(k+1)*a(k+2) +  a(k) = 0;  despejo a(k+2);

a(k+2) = -a(k) / [(k+2)(k+1)];  doy valores a k:

k=0:   a(2) = -a(0) / 2;

k=1:  a(3) = -a(1) / 6;

k=2:  a(4) = -a(2) / 12;  pero como:  a(2) = -a(0) / 2;  a(4) = a(0)/24;

k=3:  a(5) = -a(3) / 20;  pero como:  a(3) = -a(1) / 6;  a(5) = a(1)/120;

Como puede observarse, al poner alternadamente los coeficientes en función de a(0) y a(1), se nos genera un denominador equivalente a n!; con el coeficiente a(0) para n pares y a(1) para n impares:  

(1/n!)* a * x^n;  siendo a(0) para los n pares y a(1) para los n impares.

y = a(0) + a(1)x - (1/2!) a(0)x^2 - (1/3!)a(1)x^3 + (1/4!) a(0)x^4 + (1/5!)x^5 +...