Sean u y v dos vectores. Demuestre que u + v y u − v son perpendiculares
Función de varias variables
Sean u y v dos vectores tales que forman un ángulo de 450 y ‖ u ‖ = ‖ v ‖ = 2.
a) ¿Cuál es el módulo de u + v? ¿Y el de u − v?
b) Demuestre que u + v y u − v son perpendiculares.
1 respuesta
Me había confundido el título de tu pregunta, ya que no siempre u+v perpendicular a u-v; sí se da en este caso particular, con igual módulo.
Si el ángulo de u; v es de 45°, y el módulo de ambos es 2:
Por paralelogramo (y Teorema del coseno):
|u+v|^2 = u^2+v^2 - 2uvCos(180|-45°); recordar que la suma es la diagonal mayor del paralelogramo.
|u+v| = √ [4+4- 2*2*2*(-√2/2) ];
|u+v| = 3.69;
|u-v| = √ (u^2+v^2 - 2uvCos45°); que es la diagonal menor del paralelogramo.
|u-v| = 2.34
Podemos ver que este paralelogramo tiene los cuatro lados iguales, es decir que es un rombo, y como tal, ambas diagonales se cruzan ortogonalmente, y esto demuestra que <u+v> (diagonal mayor) es ortogonal a <u-v> (diagonal menor).
