Demuestra que el disco unitario en R2 no es compacto
Compacidad
Utilizandoladefinicióndecompacidadconcubiertasabiertas, demuestra que el disco unitario en R 2 no es compacto.
Recuerda que el disco unitario es el conjunto D^2={(x,y)∈R2 | x^2+y^2 <1}
1 respuesta
Teniendo la definición de que en R2: x^2+y^2<1, todo disco unitario podrá estar recubierto por otro con un radio más cercano a 1, sin llegar a ese valor.
Ejemplo: demos valores cercanos a 1: x^2+y^2<=0.999 es un disco que puede encontrarse recubierto, por ejemplo por x^2+y^2<=0.9991; y así sucesivamente, infinitas veces, siempre y cuando no llegue a 1.
Atención: esto no es válido para 0.999... periódico, ya que:
1) Si bien aparentemente 0.999... (periódico) <1, no es así:
Por definición: a<b tal si y sólo si existe al menos un x>0 tal que:
a+x=b; pero si a=0.99....., no existe ningún x que cumpla esta condición, porque 0.99...+x > b;
2) Además, si z=0.999....:
10z=9.9999.......
z=0.999....; si resto mam:
9z=9; z=1.
