Determina h y k de modo que la ecuación diferencial antes escrita, se pueda escribir en la forma: dY/dX=(X+Y)/(X-Y)

Es correcta la resolución de Lucas. Sólo haré otra forma, tal cual lo solicitas en tus consignas.

Esta ED se llama Cuasi-homogénea, y la idea es transformarla en homogénea.

Uno de los métodos es el propuesto: x=X+h;  y=Y+k;  así, lo que intentamos luego es hacer que los valores h, k y numéricos desaparezcan haciéndose 0.

(x-y+3)dy = (x+y+1)dx;  reemplazo:

(X+h-Y-k+3)dy = (X+h+Y+k+1)dx;

h-k+3=0;

h+k+1=0;  dos ecuaciones, dos incógnitas:  tiene resolución única.  

Sumo mam:  2h+4=0;  h=-2;  reemplazo en la segunda ecuación:  k=1;

Entonces:  X=x+2;  Y=y-1;

También tengo que:  x=X+h;  y=Y+k;  entonces:  dx=dX;  dy=dY.

Reescribo:  (X-Y)dY = (X+Y)dX;  que ahora es una ED Homogénea, y de la forma que te indican en la consigna.  Resolvamos:

Y=SX;  dY=dSX + dXS;  S=Y/X;

(X-SX)(dSX + dXS) = (X+SX)dX;  Simplifico por X en ambos lados:

(1-S)(dSX + dXS) = (1+S)dX;

dSX - dSXS + dXS - dXS^2 = dX+SdX;  simplifico:

dSX - dSXS - dXS^2 = dX;

dSX - dSXS= dX + dXS^2;

X(1-S)dS = (1+S^2)dX;[(1-S)/(1+S^2)]dS = dX/X;   A la derecha es directa:  ln|X|;A la izquierda separo:  1/(1+S^2) - S/(1+S^2);  la primera directa, la segunda logarítmica:   Tan^(-1)S - (1/2) ln|1+S^2|; Tan^(-1)S - (1/2) ln|1+S^2| = ln|X| + lnC;  (LnC también es una constante).Devuelvo variable de S:Tan^(-1)(Y/X) - (1/2) ln|1+(Y/X)^2| = ln|CX|;  Devuelvo variable inicial:Tan^(-1)(Y/X) - (1/2) ln|1+(Y/X)^2| = ln|CX|;X=x+2;  Y=y-1Tan^(-1)[(y-1)/(x+2)] - (1/2) ln|1+[(y-1)/(x+2)]^2| = ln|C(x+2)|;  o:Tan^(-1)[(y-1)/(x+2)] = (1/2) ln|1+[(y-1)/(x+2)]^2| + ln|C(x+2)|;Tan^(-1)[(y-1)/(x+2)] = (1/2) ln|{1+[(y-1)/(x+2)]^2} * C(x+2)|.Los valores de h=-2;  k=1.

Por alguna razón al final se "amontonó" todo:

X(1-S)dS = (1+S^2)dX;[(1-S)/(1+S^2)]dS = dX/X;  

A la derecha es directa:  ln|X|;

A la izquierda separo:  1/(1+S^2) - S/(1+S^2);  

la primera directa, la segunda logarítmica:   

Tan^(-1)S - (1/2) ln|1+S^2|; 

Tan^(-1)S - (1/2) ln|1+S^2| = ln|X| + lnC;  

(LnC también es una constante).

Devuelvo variable de S:Tan^(-1)(Y/X) - (1/2) ln|1+(Y/X)^2| = ln|CX|;  

Devuelvo variable inicial:

Tan^(-1)(Y/X) - (1/2) ln|1+(Y/X)^2| = ln|CX|;

Como:  X=x+2;  Y=y-1

Tan^(-1)[(y-1)/(x+2)] - (1/2) ln|1+[(y-1)/(x+2)]^2| = ln|C(x+2)|;  o:

Tan^(-1)[(y-1)/(x+2)] = (1/2) ln|1+[(y-1)/(x+2)]^2| + ln|C(x+2)|;

Tan^(-1)[(y-1)/(x+2)] = (1/2) ln|{1+[(y-1)/(x+2)]^2} * C(x+2)|.

Los valores de h=-2;  k=1.

;)

Hola Yani!

Hagamos:

u+v=x+y+1

u-v=x-y+3

Resolviendo el sistema:

Sumandolas   2u=2x+4 ==> x=u-2

Restandolas   2v=2y-2 ==> y=v+1

Luego x=X-2      y=Y+1

dY/dX=(X+Y )/(X-Y)

Para resolver esta ecuación diferencial homogénea te dejo un enlace donde tienes una muy parecida

https://youtu.be/PL6R4o0nbG0 

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No se ve el video

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https://youtu.be/PL6R4o0nbG0 

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https://youtu.be/PL6R4o0nbG0