¿La integral de la función f(x)=x^(-p) entre los valores x=0 y x=1 es siempre convergente?
tenia una duda y es que me piden que calcule si integral de la función f(x)=x^(-p) entre x=0 y x=1 es siempre convergente pero, ¿Cómo se cuándo es convergente o divergente? ¿Cómo se cuánto tiene que valer p para que sea convergente o divergente y cómo lo calculo?
Esto es lo único que me dan:
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Ya te dieron la respuesta de la integral, siempre que p sea distinto de 1 esa integral estará definida y será convergente ya que la fracción 1/(1-p) será 'un numero' definido
En el caso que p = 1, entonces la integral es ln(x), y es función es divergente cuando la quieras evaluar en 0 (en realidad en cero está indefinida, pero tendiendo a cero la función tiende a menos infinito y la función diverge) ya que quedaría
$$\begin{align}&\int_0^1 x^{-1}dx = ln(x)\bigg |_0^1=ln(1) - ln(0)\\&\text{El ln de 0 no existe, así que hay que tomar límites...}\\&ln(1)- \lim_{L \to 0} ln(L) = 0 - (-\infty) = +\infty \text{ (es por esta razón que para p=1, la integral diverge)}\end{align}$$Salu2