Pruebe que lim ∫ fn (x)dx=∫ f(x)dx
Suponga que g y fn, con n natural, están definidas sobre (0,∞), son integrables sobre [t,T] para cualesquiera 0<t<T<∞, | fn|≤g, fn →f uniformemente en cualquier subconjunto compacto de (0,∞) y
Pruebe que
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Es la aplicación del Teorema de Barrow (también llamado Teorema intuitivo de Barrow), o también TFC parte 2. Para mejor comprensión, es interesante comenzar por la primera parte:
Tomemos entre 0 y x un área bajo la curva (AUC)=A(x). Si incrementamos a x en h (0 a x+h), tendremos un área= A(x+h).
Al área entre x+h y x, como es muy pequeña, podemos tomarla como un rectángulo de base h y altura=f(x): por lo tanto: A(h) ≅ h*f(x).
Entonces: A(h) = A(x+h) - A(x); sustituyo:
h*f(x) ≅ A(x+h) - A(x); finalmente:
f(x) ≅ [A(x+h) - A(x)] / h;
Lo que implica dos cosas:
1) Que la función aproxima a la derivada del área;
2) que cuando h->0: f(x) = [A(x+h) - A(x)] / h.
Sigamos ahora el razonamiento:
a) La derivada es un límite con h->0.
b) La integral definida (de a hasta b) puede tomarse como el AUC de 0 a b - AUC de 0 a a;
Finalmente: El límite de una integral es igual a la integral misma.
