Pruebe que lim ∫ fn (x)dx=∫ f(x)dx

Es la aplicación del Teorema de Barrow (también llamado Teorema intuitivo de Barrow), o también TFC parte 2. Para mejor comprensión, es interesante comenzar por la primera parte:

Tomemos entre 0 y x un área bajo la curva (AUC)=A(x).  Si incrementamos a x en h (0 a x+h), tendremos un área= A(x+h).

Al área entre x+h y x, como es muy pequeña, podemos tomarla como un rectángulo de base h y altura=f(x): por lo tanto: A(h) ≅ h*f(x).

Entonces:  A(h) = A(x+h) - A(x);  sustituyo:

h*f(x) ≅ A(x+h) - A(x);  finalmente:

f(x) ≅ [A(x+h) - A(x)] / h;

Lo que implica dos cosas:

1) Que la función aproxima a la derivada del área;

2)  que cuando h->0:  f(x) = [A(x+h) - A(x)] / h.

Sigamos ahora el razonamiento:

a) La derivada es un límite con h->0.

b) La integral definida (de a hasta b) puede tomarse como el AUC de 0 a b - AUC de 0 a a;

Finalmente: El límite de una integral es igual a la integral misma.