Pruebe que lim(gn(x))=0 para todo x>0
Para cada natural n, sea gn definida para para x≥0 por la fórmula gn(x)=nx, 0≤x≤1/n, gn(x)=1/nx, 1/n<x, pruebe que lim(gn(x))=0 para todo x>0
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Interpreto que se trata de una función a trozos (si no fuera así por favor indícamelo); simpre con x≥0
gn(x)=nx; para 0≤x≤1/n;
gn(x)= 1/(nx); para x>1/n;
La segunda parte no ofrece dificultades, ya que si reemplazo con una igualdad x=1/n queda: gn(x) = 1/1; pero como no es una igualdad sino x>1/n; el valor del denominador es >1, y por lo tanto, el límite tenderá a 0.
En la primera parte, cuando x tiende a 0 no queda duda de que su límite es 0. Sustituyendo con la igualdad, en el extremos máximo, quedaría: gn(x)=1; pero como x<=1/n, hay dos posibilidades:
a) x< 1/n: tiende a 0.
b) x=1/n: gn=1; sin embargo, como se trata de un límite, no podemos tomar el valor x=1/n, porque con esto haríamos el cierre o clausura del intervalo, y estaríamos fuera de la definición de límite.
