Ecuaciones diferenciales de primer nivel

Es una ED de Cauchy-Euler de segundo grado, no homogénea (porque está igualada a algo distinto de 0).

x y ' ' - y ' = x;   Para la homogénea proponemos:  y = x^m;

y ' = m x^(m-1); 

y ' ' = m(m-1) x^(m-2);   reemplazo:

x* m(m-1) x^(m-2) - m*x^(m-1) = 0;  o:  m(m-1) x^(m-1) - m*x^(m-1) = 0;  factorizo:

x^(m-1) * m (m-1-1) = 0;  o:  x^(m-1) * m (m-2) = 0;  por lo que:  m=0;  m=2;

y(h) = C1x^2 + C2x^0;  o:  y(h) = C1x^2 + C2;

w = x^2 ### 1

       2x ### 0;    w= -2x;

Recordar que para obtener f(x) debo dividir a toda la ED por x (que está multiplicando a y ' ', que es la derivada de mayor grado ) quedando f(x) = x/x = 1;

w1 = 0 ### 1

         1 ### 0;  w1=-1

w2 = x^2 ### 0

          2x ### 1;  w2= x^2

u1= ∫ w1/w;  u1= (1/2) ∫ dx/x;  u1=(1/2)ln |x|;

u2= ∫ w2/w;  u2 = (-1/2) ∫ x*dx;  u2= (-1/4)x^2;

y = C1x^2 + C2 + (1/2)x^2*ln|x| - (1/4)x^2; 

Si factorizamos x^2 sólo de los monomios que no tienen otras funciones de x queda:

y = x^2*[C1-(1/4)] + C2 + (1/2)x^2*ln|x|;

pero como [C1-(1/4)] que están multiplicando a x^2, es también una constante, podemos escribirla como C3 (y desaparecería C1), o dejarla como C1:

y = C3x^2 + C2 + (1/2)x^2*ln|x|  o directamente:  

y = C1x^2 + C2 + (1/2)x^2*ln|x|.

No encuentro coincidencias entre mis Wronskianos y los de tus respuestas posibles.

Puedes corroborar la resolución en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*+y+%27+%27+-+y+%27+%3D+x